例1.证明方程x5-5x+1=0有且仅有一个小于1的 正实根 证:1)存在性 设f(x)=x3-5x+1,则f(x)在[0,1连续,且 f(0)=1,f(1)=-3.由介值定理知存在x0∈(0,1),使 f(x0)=0,即方程有小于1的正根x0 2)唯一性 假设另有x1∈(0,1),x≠x,使f(x1)=0,…f(x)在以 0,x1为端点的区间满足罗尔定理条件,∴在x,x之间 至少存在一点点,使∫()=0 但f(x)=5(x4-1)<0,x∈(0,1),矛盾,故假设不真! 学 HIGH EDUCATION PRESS 机动目录上下臾返回结束例1. 证明方程 5 1 0 5 x  x   ( ) 5 1, 5 f x  x  x  f (0) 1, f (1)  3. ( ) 0, f x0  (0,1), , 1 1 0 x  x  x ( ) 5( 1) 4 f  x  x   0, x(0,1), 有且仅有一个小于1 的 正实根 . 证: 1) 存在性 . 则 f (x) 在 [0 , 1 ] 连续 , 且 由介值定理知存在 (0,1), x0  使 即方程有小于 1 的正根 . 0x 2) 唯一性 . 假设另有 ( ) 0, 使 f x1   f (x)在以 0 1 x , x 为端点的区间满足罗尔定理条件 , 在x0 , x1之间 至少存在一点  , 使 f ( )  0. 但 矛盾, 故假设不真! 设 机动 目录 上页 下页 返回 结束