例3已知向量组a1,a2,a线性无关，令P1=a1+a2, B2=a2+a,3=a3+a1,试证向量组邛1，B2,3线性无关。 证设有x1,32,x使 x1B1+x2p2+3B3=0, 即 xi(a1+a2)+x2(a2+a3)+x3(a3+a1)=0 亦即(x,+x3)a1+(x,+3)a2+(x3+x)a3=0 因a1,a2,a3线性无关，故有 x+x3=0 x+x2=0 x2+x3=0例3 已知向量组α1 , α2 , α3线性无关 ,令 β1 = α1 + α2 , β2 = α2 + α3 , β3 = α3 + α1 ,试证向量组β1 , β2 , β3线性无关。 证 设有x1 , x2 , x3使 x1 β1+ x2 β2 +x3 β3 = 0, 即 x1 ( α1 + α2 ) + x2 ( α2 + α3 ) + x3 ( α3 + α1 ) = 0 亦即 ( x1 + x3 ) α1 + ( x1 + x2 ) α2 + ( x2 + x3 ) α3 = 0 因 α1 , α2 , α3 线性无关 ，故有 1 3 1 2 2 3 0 0 0  + =   + =   + = x x x x x x