第三章连续型随机变量 其中性质(1)、(2)、(3)的证明是显然的,而性质(4)由(3.25)式可得.反过来还可以证明 任意一个具有上述四个性质的二元函数,必定可以作为某个二维随机变量的联合分布函 数.因而,满足这四个条件的二元函数通常就称为二元联合分布函数 四、边际分布函数的概念: 如果二维随机变量(ξ,n的联合分布函数F(x,y)为已知,那么它的两个分量ξ与n 的分布函数即可由F(x,y)求得,因为有 F(x)=P(2<x)=P(2<x,n∞)=F(x,∞) 其中F(x,∞)=limF(x,y).同理还有 Fn(y)=F(∞,y) 其中F(∞,y)=imF(x,y).如同离散型情形,人们也称F(x)、Fn(y)是联合分布F(x,y) 的边际分布函数,或简称为边际分布 五、密度函数的概念及性质 1.定义 类似于一维时的情形,下面将着重讨论二维的连续型随机变量,这就是下述的定义 定义3.4如果F(x,y)是一个联合分布函数,若存在函数p(x,y),使对任意的(x,y), 有 F(x, y)= p(u, v)dudu 成立,则称F(x,y)是一个连续型的联合分布函数,并且称其中p(x,y)是F(x,y)的联合概 率密度函数或简称为密度 如果二维随机变量(ξ,n的联合分布函数F(x,y)是连续型分布函数,就称(2,η)是 二维的连续型随机变量 2.性质 由分布函数的性质可知,任一二元密度函数p(x,y)必具有下述性质: (1)p(x,y)≥0 2)Cm(xy)bdF(∞,+)= 反过来,任意一个具有上述两个性质的二元函数p(x,y),必定可以作为某个二维随机变 量的密度函数.此外,密度函数还具有性质 (3)若p(x,y)在点(x,y)连续,F(x,y)是相应的分布函数,则有 a2F(x,y) (4)若G是平面上的某一区域,则 P【(,n)∈G}=p(x,y)xd 例如,若第三章 连续型随机变量 ·８７· 其中性质(1)、(2)、(3)的证明是显然的,而性质(4)由(3.25)式可得.反过来还可以证明, 任意一个具有上述四个性质的二元函数,必定可以作为某个二维随机变量的联合分布函 数.因而,满足这四个条件的二元函数通常就称为二元联合分布函数. 四、边际分布函数的概念: 如果二维随机变量(,)的联合分布函数 F(x,y)为已知,那么它的两个分量  与  的分布函数即可由 F(x,y)求得,因为有 F(x)=P(<x)=P(<x,<∞)=F(x,∞) 其中 F(x,∞)= y→ lim F(x,y).同理还有 F(y)=F(∞,y) 其中 F(∞,y)= x→ lim F(x,y).如同离散型情形,人们也称 F(x)、F(y)是联合分布 F(x,y) 的边际分布函数,或简称为边际分布. 五、密度函数的概念及性质: 1.定义: 类似于一维时的情形,下面将着重讨论二维的连续型随机变量,这就是下述的定义. 定义 3.4 如果 F(x,y)是—个联合分布函数,若存在函数 p(x,y),使对任意的(x,y), 有 F(x,y)= − − x y p(u,v)dudv 成立,则称 F(x,y)是一个连续型的联合分布函数,并且称其中 p(x,y)是 F(x,y)的联合概 率密度函数或简称为密度. 如果二维随机变量(,)的联合分布函数 F(x,y)是连续型分布函数,就称(,)是 二维的连续型随机变量. 2.性质: 由分布函数的性质可知,任一二元密度函数 p(x,y)必具有下述性质: (1) p(x,y)≥0; (2)    −  − p(x, y)dxdy=F(+∞,+∞)=1; 反过来,任意一个具有上述两个性质的二元函数 p(x,y),必定可以作为某个二维随机变 量的密度函数.此外,密度函数还具有性质: (3) 若 p(x,y)在点(x,y)连续,F(x,y)是相应的分布函数,则有 x y F x y    ( , ) 2 =p(x,y) (4) 若 G 是平面上的某一区域,则 P｛(,)∈G｝=  G p(x, y)dxdy 例如,若