第三章连续型随机变量 3.教学难点:对一些随机变量进行有关计算 教学过程: n维随机变量及分布函数的概念 前面讨论了一维连续型随机变量,如同第二章中所讨论的多维离散型随机变量一样, 还可以讨论多维连续型随机变量.这里,我们仍从一般的多维随机变量定义出发 定义3.3设ξ1(o),ξ2(o),…,(o)是定义在同一个样本空间9上的随机变量,则n 维向量(1(o),2(o),…,(o)称为是样本空间9上的n维随机变量或n维随机向量 并称n元函数 F(x1,x2,…,x)=P(21(o)<x,2(o)<x2,…n(o)<x) 是n维随机变量(ξ1(o),2(o),…,(o)的联合分布函数,也简称为联合分布或分布联 合分布函数描述了多维随机变量的统计规律. 、二维随机变量概率的计算公式: 我们将着重讨论二维随机变量.如果(,η)表示笛卡儿平面上点的坐标,那么 F(x, y)=P(E<x, n<y) 就表示点(,n)落在图3.8阴影部分中的概率 这时,点(2,n)落入任一矩形{x1≤<x,y≤ny2}(见图3.9)中的概率,即可由概率 的加法性质求得 P(x≤x,y≤ny)甲(x,y)-F(x1,y-F(xy)+(x,y 因为由图3.9可以直接看出 P(x1≤(x2,y≤ny)=P{(2,n∈I =P(2,n∈(IUIUⅢUⅣ)}-P{(2,n)∈(IUⅣ)}-P{(2,n)∈(IUⅣ)}+P{(2,n) ∈Ⅳ} 由此即得上式 二维随机变量分布函数的性质: 如同一维分布函数,还可以证明二维分布函数F(x,y)具有下述性质 (1)对x或y都是单调不减的; (2)对x或y都是左连续的,即有 F(x,y)=F(x-0,y) F(x,y)=F(x,y-0) (3)对任意的x和y,有 F(x,y)=0 F(x,-∞)=limF(x,y)=0 并且还有 F(+∞,-∞)=lmF(x,y)=1 (4)对任意的(x1,y1)和(x2,y2)(其中x1<x2,y1<y2),有 F(x2,y2)-F(x,y2)-F(x2,y1)+F(x,y1)≥0第三章 连续型随机变量 ·８６· 3．教学难点：对一些随机变量进行有关计算. 教 学 过 程 ： 一、n 维随机变量及分布函数的概念: 前面讨论了一维连续型随机变量,如同第二章中所讨论的多维离散型随机变量一样, 还可以讨论多维连续型随机变量.这里,我们仍从一般的多维随机变量定义出发. 定义 3.3 设1(),2(),…,n()是定义在同一个样本空间Ω上的随机变量,则 n 维向量(1(),2(),…,n())称为是样本空间Ω上的 n 维随机变量或 n 维随机向量. 并称 n 元函数 F(x1,x2,…,xn)=P(1()<x1,2()<x2,…,n()<xn) 是 n 维随机变量(1(),2(),…,n())的联合分布函数,也简称为联合分布或分布.联 合分布函数描述了多维随机变量的统计规律. 二、二维随机变量概率的计算公式: 我们将着重讨论二维随机变量.如果(,)表示笛卡儿平面上点的坐标,那么 F(x,y)=P(<x,<y) 就表示点(,)落在图 3.8 阴影部分中的概率. 这时,点(,)落入任一矩形｛x1≤<x2,y1≤<y2｝(见图 3.9)中的概率,即可由概率 的加法性质求得: P(x1≤<x2,y1≤<y2)=F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1) 因为由图 3.9 可以直接看出 P(x1≤<x2,y1≤<y2)=P{(,)∈Ⅰ} =P{(,)∈(Ⅰ∪Ⅱ∪Ⅲ∪Ⅳ)}-P{(,)∈(Ⅲ∪Ⅳ)}-P{(,)∈(Ⅱ∪Ⅳ)}+P{(,) ∈Ⅳ} 由此即得上式. 三、二维随机变量分布函数的性质: 如同一维分布函数,还可以证明二维分布函数 F(x,y)具有下述性质: (1) 对 x 或 y 都是单调不减的; (2) 对 x 或 y 都是左连续的,即有: F(x,y)=F(x-0,y), F(x,y)=F(x,y-0) (3) 对任意的 x 和 y,有     − = = − = = →− →− ( , ) lim ( , ) 0 ( , ) lim ( , ) 0 F x F x y F y F x y y x 并且还有 F(+∞,-∞)= lim F(x, y) y x →+ →+ =1 (4) 对任意的(x1,y1)和(x2,y2)(其中 x1<x2,y1<y2),有: F(x2,y2)-F(x1,y2)-F(x2,y1)+F(x1,y1)≥0