在(1.1)式中,ab是实直线上的有限或无限的空间;函数p(x)是已知的 固定的函数且常常是p(x)=1,以后我们将称它为权函数。此外,我们还假定积 分 ∫,p)/(广p(rt(m=012) 总是存在的,并且函数(x)在点x12…x处是有定义的。 一般说来,求积公式(1.1)中的结点x和系数A可以按所希望的方式随意 选取(除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的,那时只好限制从离散点集中 去选取x了)。自然,我们总是希望通过x和A的选取使得在某种意义下求积 误差尽可能地小 概括来说,数值积分问题可分解为下述的三个主要问题 (1)求积公式的具体构造问题; (2)精确性程度的衡量标准问题; (3)余项估计问题(亦即,误差估计问题) 为了解决第一个问题,我们必须考虑结点x1,x2…xn和求积系数A,A2…,An的 决定(或选择)问题。为了合理的解决第二个问题,我们将引进代数精度的概念 至于第三个问题,则主要是借助于内插多项式的余项估计公式来解决。 由第一章的 Weierstrass多项式逼近定理可知,对于闭区间上的连续函数,都 可以用多项式去一致地逼近它。换句话说,任一连续函数都可以用多项式作为它 的最简单的近似函数,一般说来,多项式的次数取得越高,用它们来近似连续函 数的程度也就越高。这自然使我们想到利用多项式的次数去规定求积公式的精确 性程度(所谓代数精度)。 代数精度的概念是这样:就形如(1.1)式的求积公式来说,假如对 f(x)=1x,x2…,x"(或次数≤m的多项式),公式衡精确地成立(亦即E小]=0), 而当f(x)=xm时公式不精确成立,则称公式(11)的代数精度为m。容易看 出,m越大,则就一般的连续函数∫(x)而言,公式(11)的右端数值与左端积 分值的接近程度也就越高。事实上,当m越大时,用次数不高于m的多项式(例 如p(x)去近似x亦就越好,即maxf(x)-p(x)=S叫|便越小,因而公式(1)在（1.1）式中，[a,b]是实直线上的有限或无限的空间；函数 (x) 是已知的 固定的函数且常常是 (x) 1 ，以后我们将称它为权函数。此外，我们还假定积 分 ( ) ( ) , ( ) ( = 0,1,2,)  x f x dx  x x dx m b a b a m   总是存在的，并且函数 f (x) 在点 n x , , x 1  处是有定义的。 一般说来，求积公式（1.1）中的结点 k x 和系数 Ak 可以按所希望的方式随意 选取（除非是被积函数仅在一离散点集上是已知的，那时只好限制从离散点集中 去选取 k x 了）。自然，我们总是希望通过 k x 和 Ak 的选取使得在某种意义下求积 误差尽可能地小。 概括来说，数值积分问题可分解为下述的三个主要问题： （1） 求积公式的具体构造问题； （2） 精确性程度的衡量标准问题； （3） 余项估计问题（亦即，误差估计问题）。 为了解决第一个问题，我们必须考虑结点 n x , x , x 1 2  和求积系数 A A An , , , 1 2  的 决定（或选择）问题。为了合理的解决第二个问题，我们将引进代数精度的概念。 至于第三个问题，则主要是借助于内插多项式的余项估计公式来解决。 由第一章的 Weierstrass 多项式逼近定理可知，对于闭区间上的连续函数，都 可以用多项式去一致地逼近它。换句话说，任一连续函数都可以用多项式作为它 的最简单的近似函数，一般说来，多项式的次数取得越高，用它们来近似连续函 数的程度也就越高。这自然使我们想到利用多项式的次数去规定求积公式的精确 性程度（所谓代数精度）。 代数精度的概念是这样：就形如（1.1）式的求积公式来说，假如对 f (x) x x x (或次数 m的多项式) m =1, , , ,  2  ，公式衡精确地成立（亦即 Ef  = 0 ）， 而当 ( ) +1 = m f x x 时公式不精确成立，则称公式（1.1）的代数精度为 m。容易看 出，m 越大，则就一般的连续函数 f (x) 而言，公式（1.1）的右端数值与左端积 分值的接近程度也就越高。事实上，当 m 越大时，用次数不高于 m 的多项式（例 如 p(x)）去近似 f(x)亦就越好，即 ( ) ( ) m a x b f x − p x =    max 便越小，因而公式（1.1）