于5{PQ:动=』 事实上 S,LPcos(i, x)+@cos(ni, y)ds=f, PCos(t, y)-@cos(, x)]ds f-+P=+ 注3我们已经知道,格林公式是斯托克司公式当L是平行于Oxy坐标面的平面曲线时的特殊情形。 而从格林公式的上述形式可以看出,格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。 在高斯公式中,设P(x,y),Q(x,y),R(x,y)不依赖于二。考虑平行于z轴的单位高柱体的边界曲 面S的外侧,它在Oxy面的投影为曲线L。记柱面的上底面为S1,下底面为S2,侧面为S3则 s Payd=+OdEd+Rdxdy Cs, +s,+s)Pdyd+oddx+Rdxdy s R(x, y)dxdy +s. R(x, y)dxdy+s. Pdyd=+Oddr s, P(x, y)dyd= +O(x, y)docx =odf P(x, (), y)dy-Sod P(x, (), y)dy +odo(x,y(x))x-fodf2(,y2(x)cx S P(x(),y)dy- P(x, ( ) y)dy+o(,y(x))cx-oo(x,y2(x)ax S, P(x, y)dy-O(x, y)dx=f,[Pcos(n, x)+Ocos(n, y)]ds 又t× ldxdyd==odel,[ aP aO ∫DC Pcox)+Q,y=』 P 例2设l(x,y),v(x,y)具有二阶连续偏导数,证明 fad=。2      −   + =  = L L D dxdy x P x Q Pdx Qdy {P,Q} ds [ ]  事实上 + = L [Pcos(n, x) Qcos(n, y)]ds    − L [Pcos( , y) Qcos( , x)]ds       +   = − + = L D dxdy y Q x P Qdx Pdy [ ] 注 3 我们已经知道，格林公式是斯托克司公式当 L 是平行于 Oxy 坐标面的平面曲线时的特殊情形。 而从格林公式的上述形式可以看出，格林公式也可作为高斯公式的特殊情形。 在高斯公式中，设 P(x, y),Q(x, y), R(x, y) 不依赖于 z 。考虑平行于 z 轴的单位高柱体的边界曲 面 S 的外侧，它在 Oxy 面的投影为曲线 L 。记柱面的上底面为 1 S ，下底面为 S2 ，侧面为 3 S ，则  + + S Pdydz Qdzdx Rdxdy =  + + + + 1 2 3 ( ) S S S Pdydz Qdzdx Rdxdy =  + + + 1 2 3 ( , ) ( , ) S R x y dxdy S R x y dxdy S Pdydz Qdzdx =  + 3 ( , ) ( , ) S P x y dydz Q x y dzdx =   −   d c d c dz P x y y dy dz P x y y dy 1 1 1 0 1 0 ( ( ), ) ( ( ), ) +   −  b a b a dz Q x y x dx dz Q x y x dx 2 1 1 0 1 0 ( , ( )) ( , ( )) =  − + − b a b a d c d c P x y y dy P x y y dy Q x y x dx Q x y x dx 1 1 1 2 ( ( ), ) ( ( ), ) ( , ( )) ( , ( )) =  − L P(x, y)dy Q(x, y)dx =  + L [Pcos(n, x) Qcos(n, y)]ds   又 dxdydz z R y Q x P V   +   +   [ ]    +   =  D dxdy y Q x P dz 1 0 [ ]    +   = D dxdy y Q x P [ ] 即     +   + = L D dxdy y Q x P [Pcos(n, x) Qcos(n, y)]ds [ ]   例 2 设 u(x, y), v(x, y) 具有二阶连续偏导数，证明 （1）     +   =    2 2 2 2 [ ]dxdy y u x u ds n u L 