au av au av (2) △ uddi= d+5 其中M=2×2少,O为闭曲线L所围的平面区域,为(x,y)沿L外法线方向万的导数 证(1)在格林公式的等价形式中令POae os(n, y)lds dady a2u a2u dxd小y ax ay (2),veds=,, v[cos(n, x)+cos(n, y)]d ∫「.(a)+()d I vAudxdu xd小y Ox ax ayay 注4在式中令v=1,则(2)即化为(1) 注5设△ a2ua2u02u,S为空间立体V的边界 为l(x,y)沿S外法线方向n的导 数,则有格林第一公式: Audxdydz du. gradvdxdyct + 格林第二公式 AM△|=手,iai I12394]题的(2)(3)分别是格林第一和第二公式的低维情形,在格林第一公式中令v=l即得 (2)394 例3用斯托克司公式计算下列积分 (a) (b)L是曲线x2+y2+z2=2Rx,x2+y2=2nx(0<r<R,z>0),它的方向与所围曲面的上 侧构成右手法则 解S是曲面x2+y2+z2=2Rx(z>0)上L所围部分的上侧。它关于x平面对称,在xy平面的3 （2）      +     +      = − L ds n u dxdy v y v y u x v x u v udxdy [ ]    其中 2 2 2 2 y u x u u   +    = ， 为闭曲线 L 所围的平面区域， n u    为 u(x, y) 沿 L 外法线方向 n  的导数。 证 （1）在格林公式的等价形式中令 y u Q x u P   =   = , 得，     +   =   +    2 2 2 2 [ cos( , ) cos( , )] [ ]dxdy y u x u n y ds y u n x x u L   即     +   =    2 2 2 2 [ ]dxdy y u x u ds n u L  （2） =    ds n u v L  n y ds y u n x x u v L [ cos( , ) cos( , )]     +    dxdy y u v x y u v x [ ( ) ( )]     +     =  dxdy y v y u x v x u v udxdy [ ]     +     =  =   注 4 在式中令 v =1 ，则（2）即化为（1）。 注 5 设 2 2 2 2 2 2 z u y u x u u   +   +    = ， S 为空间立体 V 的边界， n u    为 u(x, y) 沿 S 外法线方向 n  的导 数，则有格林第一公式：       = −  + V V S dS n u v udxdydz gradu gradvdxdydz v  格林第二公式：       =   V S dS u v n v n u dxdydz u v u v   [12/394] 题的（2）（3）分别是格林第一和第二公式的低维情形，在格林第一公式中令 v = u 即得[13 （2）/394]。 例 3 用斯托克司公式计算下列积分 (a)  + + + + + L (y z )dx (x z )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2 (b) L 是曲线 x y z 2Rx 2 2 2 + + = ， 2 (0 , 0) 2 2 x + y = rx  r  R z  ，它的方向与所围曲面的上 侧构成右手法则。 解 S 是曲面 2 ( 0) 2 2 2 x + y + z = Rx z  上 L 所围部分的上侧。它关于 zx 平面对称，在 xy 平面的