投影是Dn:x2+y2≤2x (y2+=ax+(x2+2)dy+(x2+y2d dyd- ddx dxd (斯托克司公式) x +y 2(y-)z+(-x)ddr+(x-y) =2(y--)d+(x-y)dc(21(=-x)dcx=0,对称性) =2』-.xy{x-Ry, (两类曲面积分的关系) TIy-sXx-R)+(x-y)=kS 2 (Dy(x-R)-yyS=0,对称性) =2RI-dS=2Rll cos ys 2Rth=2!abh=2Rm2(两类曲面积分的关系,几何意义) 注6这题很巧妙,是一道综合性很强的题,用到的知识有: 1、斯托克司公式 2、两类曲面积分的关系,曲面的法向矢量 3、对称性 4、几何意义 例4证明高斯积分 cos(r, nl ds=0 其中L是平面上一单连通区域O的边界,而r是L上一点到外某一定点的距离,n是L的外 法线方向。又若r表示L上一点到O内某一定点的距离,则这个积分之值等于2丌。 解(1)设外某一定点(,n),则4 投影是 D x y rx xy : 2 2 2 +  。  + + + + + L (y z )dx (x z )dy (x y )dz 2 2 2 2 2 2  + + +       = S y z x z x y x y z dydz dzdx dxdy 2 2 2 2 2 2 （斯托克司公式）  = − + − + − S 2 (y z)dydz (z x)dzdx (x y)dxdy  = − + − S 2 ( y z)dydz (x y)dxdy （  − = S 2 (z x)dzdx 0 ，对称性）  = − −  − S R dS 2 {y z,0, x y} {x R, y,z} （两类曲面积分的关系） y z x R x y z dS R S  = [( − )( − ) + ( − ) ] 2 RzdS R S  = 2 （ [ ( − ) − ] = 0  y x R yz dS S ，对称性）   = = S S dS R dS R z 2R 2 cos 2 2R dxdy 2R dxdy 2R r S Dxy = = =    （两类曲面积分的关系，几何意义） 注 6 这题很巧妙，是一道综合性很强的题，用到的知识有： 1、 斯托克司公式 2、 两类曲面积分的关系，曲面的法向矢量 3、 对称性 4、 几何意义 例 4 证明高斯积分  = L ds r r n 0 cos( , )   其中 L 是平面上一单连通区域  的边界，而 r 是 L 上一点到  外某一定点的距离， n  是 L 的外 法线方向。又若 r 表示 L 上一点到  内某一定点的距离，则这个积分之值等于 2 。 解 （1）设  外某一定点 ( ,) ，则 r = {x −, y −}  ， 2 2 2 r = (x −) + (y −)