这种积分方程称为更新方程.更新方程在精算中的集体风险模型中,是一个最基本的数学工 具 下面我们来求解更新方程.假定更新间隔的分布函数F1(x)具有密度f1(x).注意 Fn(x)的密度函数∫满足fn=f1*∫n,故而这时更新函数m(1)具有微商 m()=∑f()这样更新方程可以改写为 g=h+(g*f),即g*(1-f1)=h 由此得到更新方程的解 g=(1-f1)*h=(1+∑f)*h= g()=h()+「h(-sm(s 如果更新间隔的分布函数F1(x)不存在密度,那么只要利用Sees积分的性质,就可以得到 g(0)=b()+M-s)dm(s) 这就是说,更新方程的解g(1)可以用更新函数m(1)表示 注3更新间隔的分布函数F1(x)完全确定了更新函数m().反之,更新函数m(1)也 完全确定了更新间隔的分布函数F1(x).事实上它们可以通过 Laplace变换相互表达.对于 一个在[0,∞)定义的非负函数g(),可以定义它的 Laplace变换(记为L())如下 当g(1)是更新时间T具有密度f时,其 Laplace变换的概率含义为T的负指数矩,即 L(z)=Ee1.容易验证 Laplace变换满足以下的乘法关系 在(4.5)式两边取 Laplace变换,就得到其 Laplace形式 Ln()=L(=)+L(=)Ln(=)80 这种积分方程称为更新方程. 更新方程在精算中的集体风险模型中, 是一个最基本的数学工 具. 下面我们来求解更新方程. 假定更新间隔的分布函数 ( ) 1 F x 具有密度 ( ) 1 f x . 注意 F (x) n 的密度函数 n f 满 足 n n f = f * f +1 1 , 故 而 这时更新函数 m(t) 具有微商 '( ) ( ) 1 m t f t n n å ¥ = = . 这样, 更新方程可以改写为 ( )1 g = h + g * f , 即g *(1- f 1 ) = h . 由此得到更新方程的解 (1 ) (1 ) ' 1 1 g f1 h f n h h h m n = - * = +å * = + * ¥ = - . 即 g t h t h t s m s ds t ( ) ( ) ( ) '( ) 0 = + - ò . 如果更新间隔的分布函数 ( ) 1 F x 不存在密度, 那么只要利用 Stieltjes 积分的性质, 就可以得到 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 g t h t h t s dm s t = + - ò . 这就是说, 更新方程的解 g (t) 可以用更新函数m(t) 表示. 注３ 更新间隔的分布函数 ( ) 1 F x 完全确定了更新函数 m(t) . 反之, 更新函数 m(t) 也 完全确定了更新间隔的分布函数 ( ) 1 F x . 事实上它们可以通过 Laplace 变换相互表达. 对于 一个在[0,¥) 定义的非负函数 g (t) ，可以定义它的 Laplace 变换（记为L (z) g ）如下 L z e g t dt zt g ( ) ( ) 0 - ¥ ò = ． 当 g (t) 是更新时间T1 具有密度 1 f 时, 其 Laplace 变换的概率含义为T1 的负指数矩， 即 ( ) = 1 L z f 1 zT Ee- ．容易验证 Laplace 变换满足以下的乘法关系 L (z) L (z)L (z) g *h = g h . 在（４．５）式两边取 Laplace 变换, 就得到其 Laplace 形式 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 L z L z L z L z m = F + f m . (4. 6)