命题4.6令N。=lm,N1,则P(N2=∞)=1 证明P(N2<∞)≤P(使Tn=∞)s∑P(Tn=∞)=0 1.2更新函数的更新方程 定理4.7设T的分布函数为F1(1),则更新函数m(1)满足积分方程 m()=F1(1)+m(t-s)dF(s) 证明为了数学上更简单,我们假定分布函数F1具有密度f1.于是F是n个独立同分 布密度∫的随机变量的和的分布因此,它的分布密度满足关系 fn=f*∫n,J2=f*f, 其中(f*gO)=(-(s,fOg0在∞)上定义(易见∫*g=g*f)由 f(t-s)F, (s)ds)=( f(s)F, (t-s)ds)=f(s)f,(t-s)ds=fn(D) 可知 F(1)=[f(-s)F2(S)d=(f*F))=(F*/)) 再用(44)式便得 m()=F1(1)+(F+F2+…)*f=F1(1)+(m*f)(t) ? 注1更新函数m(1)是时刻t以前的平均更新次数EN,它是更新过程的一个极为重 要的量,表达了部件的平均储备量方程(4.5)可用来对m(1)作数值近似例如用典型的迭 代方法,可以求得m(m)的数值近似解.即令 m0(O)=F1(O)m0+()=F()+m(-)/()b、m≥0) 那么,在适当的条件下,就有∑m1“(1)≈m(t) 注2设h()是一个在任意有限区间上有界的函数.利用更新函数可以求解如下类型的 积分方程 g()=h()+g(-s)dF(s)79 命题 4.６ 令N t®¥ Nt D ¥ =lim ， 则P(N¥ = ¥) =1. 证明 å ¥ = ¥ < ¥ £ $ = ¥ £ = ¥ = 1 ( ) ( , ) ( ) 0 n P N P n 使Tn P Tn . 1. 2 更新函数的更新方程 定理 4.７ 设T1的分布函数为 ( ) 1 F t , 则更新函数m(t) 满足积分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 1 m t F t m t s dF s t ò = + - . (4. 5) 证明 为了数学上更简单, 我们假定分布函数F1具有密度 1 f . 于是Fn 是n 个独立同分 布密度 f 的随机变量的和的分布. 因此, 它的分布密度 n f 满足关系 1 1 2 1 1 f f f , f f f n = * n - = * , 其中 ò * = - D t f g t f t s g s ds 0 ( )( ) ( ) ( ) , f (t), g (t) 在[0,¥) 上定义, (易见 f * g = g * f ). 由 ( ( ) ( ) }' ( ( ) ( ) )' ( ) ( ) ( ) 1 0 0 0 f t s F s ds f s F t s ds f s f t s ds f t n n t n t n t ò - = ò - = ò - = + 可知 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 0 1 F t f t s F s ds f F t F f t n t n = - n = * n = * + ò ． 再用(4. 4)式便得 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 1 1 2 1 m t = F t + F + F +L * f = F t + m* f t . ? 注 1 更新函数m(t) 是时刻t 以前的平均更新次数 ENt , 它是更新过程的一个极为重 要的量, 表达了部件的平均储备量. 方程(4. 5)可用来对m(t) 作数值近似. 例如用典型的迭 代方法，可以求得m(t) 的数值近似解. 即令 ò = = + - ³ + t n n m t F t m t F t m t s f s ds n 0 ( ) 1 ( 1) 1 (0) ( ) ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ,( 0) ． 那么, 在适当的条件下, 就有 ( ) ( ) ( ) 0 m t m t k n k å » = . 注 2 设h(t) 是一个在任意有限区间上有界的函数. 利用更新函数可以求解如下类型的 积分方程 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 0 g t h t g t s dF s t = + - ò