27 此外,即使在N是 Poisson过程的情形,由于{Tk}并不与N,独立,作为随机多个项 的独立和的x+1或rN都不是复合 Poisson过程.这样才能避免作不正确的推导 命题4.4P(N,=∞)=0 证明由大数定律,我们有 P(N=∞)=mnP(N1≥n)=lmnP(n≤1) T1+…+T =lm mm P( 0 记n的分布函数为F(1)=P(τn≤l}.与 Poisson过程类似地,更新过程N,的分布为 P(N,=n)=F(0-Fn(O 假定T是第k次更新的部件的寿命,利用F(1)是时刻t前更新次数超过n的概率 P(N,≥n),可以在此概率在容许小的控制条件下,设计部件备件的最小存储量也就是找 尽可能小的n,使Fn()被控制在一个可以容许的“小“的范围内,以达到减少储备量的 目的但是Fn()=P(rn≤D是n个与7独立同分布的随机变量的和的分布函数,除了极个 别的例子外,一般很不容易得到Fn(O)的解析表达式,然而,在应用中可以借助于随机模拟 得到它的近似例如,多次(例如m次)生成n个独立T随机数并求和用此m个和中不超 过t的频率,作为F(1)的估计值 命题4.5更新过程N,的期望函数称为更新函数它满足m(m)=EN1<∞,而且有 m()=∑Fn() 证明其有限性由P(T1=0)<1所保证,我们略去其证明.为了得到(44)式,我们利 用非负随机变量I 它的求和与取期望可以交换所以 EN=E∑l1s)=∑P(n≤1)=右78 (1. 27)). 此外, 即使在 Nt 是 Poisson 过程的情形, 由于{ } Tk 并不与 Nt 独立, 作为随机多个项 的独立和的 Nt +1 t 或 Nt t 都不是复合 Poisson 过程. 这样才能避免作不正确的推导. 命题 4. ４ P(Nt = ¥) = 0 ． 证明 由大数定律, 我们有 P(N ) lim P(N n) lim P( t) t = ¥ = n®¥ t ³ = n®¥ t n £ lim ( ) 0 1 £ = + + = ®¥ n t n T T P n n L . ? 记 n t 的分布函数为 F (t) P( t} n = t n £ . 与 Poisson 过程类似地, 更新过程Nt 的分布为 ( ) ( ) ( ) 1 P N n F t F t t = = n - n+ . (4. 3) 假定 Tk 是第 k 次更新的部件的寿命 , 利用 F (t) n 是时刻 t 前更新次数超过 n 的概率 P(N n) t ³ , 可以在此概率在容许小的控制条件下，设计部件备件的最小存储量. 也就是找 尽可能小的 n , 使F (t) n 被控制在一个可以容许的 “小 “ 的范围内, 以达到减少储备量的 目的. 但是F (t) P( t) n = t n £ 是n 个与T1独立同分布的随机变量的和的分布函数，除了极个 别的例子外, 一般很不容易得到 F (t) n 的解析表达式. 然而, 在应用中可以借助于随机模拟 得到它的近似. 例如, 多次 (例如m 次) 生成n 个独立T1随机数并求和, 用此m 个和中不超 过t 的频率, 作为F (t) n 的估计值. 命题 4.５ 更新过程Nt 的期望函数称为更新函数. 它满足 ENt m t D ( )= < ¥ , 而且有 m(t) å ¥ = = 1 ( ) n n F t (4. 4) 证明 其有限性由P(T1 = 0) <1所保证, 我们略去其证明. 为了得到(4.4)式, 我们利 用非负随机变量 { n t} I t £ , 它的求和与取期望可以交换, 所以 å å ¥ = ¥ = = £ = £ 1 1 { } ( ) ( ) n n t t n EN E I P t n t t = 右