∫∑h(x)d0(x)=∑Jh,(x(x (3)设右连续的递增函数列G(x)满足∑G(x)<∞,又(x)20则 「x)2G(x)=∑Mxd(x) 注事实上(2)和(3)给出了无穷和与积分的运算次序可以交换的条件.在(2)和(3)中,我们 并未严格地给出h(x),hn(x)需要满足的条件,通常遇到的函数都可取成h(x),b(x).在本 书中避免在数学上追求严格条件 2.更新过程的概念 2.1作为 Poisson过程推广的更新过程 更新现象是指数流的推广·也是一种按随机时刻到达的流,但是这个随机的流并不按独 立同分布的指数分布随机变量的和到达,而是按非负独立同分布随机变量和的到达 定义4.1假定{}是非负的独立同分布随机变量序列,且其二阶矩有限.记 ET IawT1=a2,再假定ao=P(T1=0)<1.令 0=0,n=T1+…+Tn,(n≥1),N1=Sup{k:k≤l 即N,是{n}的计数过程(它们分别是 Poisson过程与指数流的推广).rn称为第n次更新 时刻,随机序列{n}称为更新流,Tn称为第n个更新间隔,N,称为更新过程 除了 Poisson过程以外,一般的更新过程N,就不是独立增量过程.但是更新过程与更新 流之间仍由下面的关系联系起来 {N≥n}={n≤l 定义4.2非负整值随机变量η称为关于随机变量列{k}满足Wald条件,如果对于 任意n,事件{=n}与{n1,Tn+2…}独立 引理4.3对于更新过程N,在t固定时n=N1+1关于{}满足Wald条件 证明{=m}即随机事件{N1=n-1},也就是{rm1≤l}\{rn≤l},后者可由随机变量 组{T1,…,Tn}完全地确定.故N1+1(即n)满足Wald条件 注意虽然N+1(即n)满足Wald条件,但是N,并不满足Wald条件.所以,对于 rx+可以应用Wa|d等式(1.26)与(1.27),而对于rx则不可以应用Wa|d等式(1.26)与77 òå åò = n n hn (x)dG(x) hn (x)dG(x) . (3) 设右连续的递增函数列G (x) n 满足å < ¥ k k G (x) , 又h(x) ³ 0 则 ò å åò = k k h(x)d ( Gk (x)) h(x)dGk (x) . 注 事实上(2)和(3)给出了无穷和与积分的运算次序可以交换的条件. 在(2)和(3)中, 我们 并未严格地给出 h(x),h (x) n 需要满足的条件, 通常遇到的函数都可取成h(x),h (x) n . 在本 书中避免在数学上追求严格条件. 2. 更新过程的概念 2. 1 作为 Poisson 过程推广的更新过程 更新现象是指数流的推广. 也是一种按随机时刻到达的流，但是这个随机的流并不按独 立同分布的指数分布随机变量的和到达, 而是按非负独立同分布随机变量和的到达. 定义４.１ 假定{ } Tk 是非负的独立同分布随机变量序列, 且其二阶矩有限 . 记 ET1 = m , 2 VarT1 = s , 再假定 ( 0) 1 0 = 1 = < D a P T . 令 0, ,( 1) t 0 = t n = T1 +L+Tn n ³ , N sup{k : t} t = t k £ ， （4. 1） 即 Nt 是{ }n t 的计数过程（它们分别是 Poisson 过程与指数流的推广）． n t 称为第n 次更新 时刻, 随机序列{ }n t 称为更新流, Tn称为第n 个更新间隔, Nt 称为更新过程. 除了 Poisson 过程以外，一般的更新过程Nt 就不是独立增量过程. 但是更新过程与更新 流之间仍由下面的关系联系起来 {N n} { t} t ³ = t n £ . (4. 2) 定义４．２ 非负整值随机变量h 称为关于随机变量列{ } Tk 满足 Wald 条件，如果对于 任意n ，事件{h = n}与{ , , } Tn+1 Tn+2 L 独立． 引理４．３ 对于更新过程Nt ，在t 固定时 = + 1 Nt D h 关于{ } Tk 满足 Wald 条件． 证明 {h = n}即随机事件{N = n -1} t ，也就是{ } \{ } 1 t t t n- £ t n £ ，后者可由随机变量 组{ , , } T1 L Tn 完全地确定．故 Nt +1（即h ）满足 Wald 条件． ? 注意 虽然Nt +1（即h ）满足 Wald 条件，但是Nt 并不满足 Wald 条件. 所以，对于 Nt +1 t 可以应用 Wald 等式(1. 26)与(1. 27)，而对于 Nt t 则不可以应用 Wald 等式(1. 26)与