曲面形态连续介质有限变形理论-守恒律方程 谢锡麟 式中bp:=p--p+表示压力差 般面力作用可表示为 F 式中∫表示面力密度,亦即单位面积上所受的力.面力可为重力、不同介质之间的摩擦力、电 磁力等;直接作用于一片连续介质的力均可考虑为面力 综上所述,可得微分形式的动量守恒 =H(-p)-□p+ V8日+日8V)+Hn·(v日)+bp+fs 式中黏性项可分别推导为 .(va)=(wm)+6.[na av3 H +svgi +(bvV-b“batv3)n, 3.(Gev 百8(V9)+.a(vn -lvvsvl-bsb5v1-(vb das +([(Gbg)Vs+2b5V, vi]+[vsvsV-65tbstV1)n, Hn·V H +bV)9 x 此外,还有关系式 VVVs=V(V'Vs)+KGV 及bs 易见,将上述动量守恒的控制方程应用于几何形态为平面的流动(如平面皂膜),则退化为 般平面可压缩流动的 Navier- Stokes方程 需指出,上述分析中的表面张力系数以及内摩擦力均被视为常数.物理上,表面张力系数可 能为膜的厚度或者面密度的函数,亦即有γ=(p).由此,可有(xx,t):=(p(xx,t).对此情 形,仍有 F d=p(x×n)·()dl / (?D)+Hn·(Dd /a)=已 h n d 此处 a(x+=n()m(x,,关系式()可由实验确定 进一步,上述动量守恒方程可以进行无量纲化,有 dv 1 p)n 6.( V∞口+口⑧V)+Hn·V⑧口有限变形理论讲稿谢锡麟 曲面形态连续介质有限变形理论 -守恒律方程 谢锡麟 式中 δp := p − − p + 表示压力差. 一般面力作用可表示为 Fsur := ∫ Σ f Σdσ, 式中 f Σ 表示面力密度, 亦即单位面积上所受的力. 面力可为重力、不同介质之间的摩擦力、电 磁力等; 直接作用于一片连续介质的力均可考虑为面力. 综上所述, 可得微分形式的动量守恒 ρ dV dt = H(γ − p)n − Σ p + µ [ Σ · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) + Hn · ( V ⊗ Σ )] + δpn + f Σ, 式中黏性项可分别推导为 Σ · ( V ⊗ Σ ) = Σ · [( V l gl ) ⊗ Σ ] + Σ · [ ( V 3n ) ⊗ Σ ] = [ ∇s∇lVs − b ls ∂V 3 ∂xs Σ − ( ∇s b l s ) V 3 − H ( g ls ∂V 3 ∂xs Σ + b l sV s )] gl + ( b st∇sVt − b stbst V 3 ) n, Σ · (Σ ⊗ V ) = Σ · [ Σ ⊗ ( V l gl ) ] + Σ · [ Σ ⊗ ( V 3n ) ] = {[ ∇s∇sV l − b l s b s tV t ] − [( ∇s b l s ) V 3 + 2b ls ∂V 3 ∂xs Σ ]} gl + {[(∇qb q s ) V s + 2b st∇sVt ] + [ ∇s∇s V 3 − b stbst V 3 ]} n, Hn · ( V ⊗ Σ ) = H ( g ls ∂V 3 ∂xs Σ + b l sV s ) gl . 此外, 还有关系式 ∇s∇lVs = ∇l (∇sVs) + KG V l , 以及 b stbst = H2 − 2KG. 易见, 将上述动量守恒的控制方程应用于几何形态为平面的流动 (如平面皂膜), 则退化为一 般平面可压缩流动的 Navier-Stokes 方程. 需指出, 上述分析中的表面张力系数以及内摩擦力均被视为常数. 物理上, 表面张力系数可 能为膜的厚度或者面密度的函数, 亦即有 γ = γ(ρ). 由此, 可有 γ(xΣ, t) := γ(ρ(xΣ, t)). 对此情 形, 仍有 Ften : = ∮ c γτ × ndl = ∮ c (τ × n) · (γI)dl = ∫ Σ [ Σ · (γI) + Hn · (γI) ] dσ = ∫ Σ Σ · (γI)dσ = ∫ Σ [ Σ γ + γH n ] dσ, 此处 ∂γ ∂xi Σ (xΣ, t) = ∂γ ∂ρ (ρ) ∂ρ ∂xi Σ (xΣ, t), 关系式 γ(ρ) 可由实验确定. 进一步, 上述动量守恒方程可以进行无量纲化, 有 ρ dV dt = 1 WeH(γ − p)n − 1 We Σ p + 1 Re [ Σ · ( V ⊗ Σ + Σ ⊗ V ) + Hn · ( V ⊗ Σ )] + 1 Weδpn, 3