1.简答题:(8分×4) (1)x=P(x),故:当l=1时,原式=2/3 (4分) 当l=2,3时,原式=0 (2分+2分) (2)几个特征: (a) lim No(x)=∞,limN1(0)=∞ (2分) (b)N1的第一个根大于N的第一个根 (3分) (c)No与N1根交错出现 (3分) (3)(l,t)=0 (4分) Y Sur(0, t)=ku(0, t) (4分) (4)只有向右传播的波:u=f(t-x/a) (2分) t=0时 故∫(-/a)=0ifx≥0 (2分) t≥0的x=0处,SYux= sin wt=f(t) (2分) 综上: cos(t-x/a)-1]t≥r/a (2分) t<r/a 5 B (2分) 边条:t(a,6)=cos26=P2(cos6)+B(cosb) (2分) B B2 2a3 3 1a2a3 P2(cos 8) 三式各2分) (2分) 2.定解问题:{(0,1)=0,(,)=0 (2分) (x,0)=0, (2分) u(r,t)=uo+>A, exp[-(nTa/0)2t)sin a (5分) u(x,0)=0→An= n T (4分) 0 (3分)1. 简答题: （8分 × 4） (1) x = P1(x)，故：当 l = 1 时，原式 = 2/3 (4分) 当 l = 2, 3 时，原式 = 0 (2分 + 2分) (2) 几个特征： (a) limx→0 N0(x) = ∞, limx→0 N1(0) = ∞ (2分) (b) N1 的第一个根大于 N0 的第一个根 (3分) (c) N0 与 N1 根交错出现 (3分) 2 4 6 8 10 12 -1.0 -0.5 0.5 (3) u(l, t) = 0 (4分) Y Sux(0, t) = ku(0, t) (4分) (4) 只有向右传播的波：u = f(t − x/a) (2分) t = 0 时 u = 0，故 f(−x/a) = 0 if x ≥ 0 (2分) t ≥ 0 的 x = 0 处，SY ux = sin ωt = f(t) (2分) 综上：u =    a ωSY [cos ω(t − x/a) − 1] t ≥ x/a 0 t < x/a (2分) (5) u = ∑ l Blr −l−1Pl(cos θ) (2分) 边条：u(a, θ) = cos2 θ = 2 3 P2(cos θ) + 1 3 P0(cos θ) (2分) B0 = a 3 , B2 = 2a 3 3 , u = 1 3 a r + 2 3 a 3 r 3 P2(cos θ) (三式各 2分) 2. 定解问题：    ut = a 2uxx (2分) u(0, t) = u0, u(l, t) = u0 (2分) u(x, 0) = 0, (2分) u(x, t) = u0 + ∑ n An exp[−(nπa/l) 2 t] sin nπ l x (5分) u(x, 0) = 0 =⇒ An = − 2u0 l ∫ l 0 sin nπx l dx (4分) A2n+1 = 4u0 (2n + 1)π , A2n = 0 (3分)