的各阶导数 解当x>0时,f(x)=2x;当x<0时, 由 f(0)=lm(△x)-/o:m(4x)2-0 ∫(0)=lim f(Ax)-f(0) 0 =0, Ax 可知f(x)=2|x x>0 由此得到f"x)= <0 不存在 于是当n>2时,fo(x) 不存在 4.设f(x)任意次可微,求 f(x2)] (3)[/(nx)y; f(x)"; f(e-r) 解(1)Uf(x2)=f(x2)x2)=2xf(x2) f(x2)=2xf(x2)(x2y+(2x)f(x2)=4x2f"(x2)+2f(x2), [f(x2)"=4x2f"(x2)(x2)+(4x2)f"(x2)+2f"x2)x2)'=8x3f"(x2)+12xf"(x2) (2) x八x 2的各阶导数。 解 当 x > 0时， f '(x) = 2x；当 x < 0时， f '(x) = −2x 。由 2 0 0 ( ) (0) ( ) 0 (0) lim lim 0 x x f x f x f x x + ∆ → + ∆ → + ∆ − ∆ − ′ = = ∆ ∆ = ， 2 0 0 ( ) (0) ( ) 0 (0) lim lim 0 x x f x f x f x x − ∆ → − ∆ → − ∆ − − ∆ − ′ = = ∆ ∆ = ， 可知 f '(x) = 2 | x |。 由此得到 2, 0, ''( ) 2, 0, 0 x f x x x ⎧ > ⎪ = − ⎨ < ⎪ ⎩不存在， = 。 于是当n > 2时， ( ) 0, 0, ( ) 0 n x f x x ⎧ ≠ = ⎨ ⎩不存在， = 。 4．设 f x( )任意次可微，求 ⑴ [ ( f x )] 2 ′′′； ⑵ 1 f x ′′′ ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ ⎣ ⎝ ⎠⎦ ； ⑶ [ ( f ln x)]′′； ⑷ [ln f x( )]′′； ⑸ [ ( f e )] − x ′′′； ⑹ [ f (arc tan x)]′′ . 解 （1）[ f (x 2 )]'= f '(x 2 )(x 2 )'= 2xf '(x 2 )， [ ( )]'' 2 ''( )( )' (2 )' '( ) 4 ''( ) 2 '( ) 2 2 2 2 2 2 2 f x = xf x x + x f x = x f x + f x ， 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 [ ( )]''' 4 '''( )( )' (4 )' ''( ) 2 ''( )( )' 8 '''( ) 12 ''( ) 2 f x = + x f x x x f x + f x x = x f x + xf x 。 （2） ' 2 1 1 1 1 f f ' ' f 1 x x x x x ′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ， ' ' 2 2 4 3 1 1 1 1 1 1 1 1 2 f f '' f ' f '' ' 1 f x x x x x x x x x ′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x ， 6 5 5 4 1 1 1 4 1 2 1 6 1 f f f f f x x x x x x x x ′′′ ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ −−− ′′ ′′ ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 86