(3)[(nx)l'=f(InxkInx)= [(n x)=/"(nxkIn x) */'( xXx)-/(nx)-/'(n x) (4)[nf(x)=/(x) l/xy′=P(/(x)-(/(x)。 f2(x) (5)[f(e)=f(e)(ey=-ef(e-) lf(e ]"=ef"(ee)'(e)'f(e=ef"(e)+e'e) [fe)"=e-f"e)e-)+(e2)f"e)+ef"e)e)+(e-)'f(e) 3f"(e)-3e2f"(e)-ef(e)。 (6) [(arctan x)]'=f(arctan x) ( arctan )'s f(arctan x) 1+x [f(arctan r)"(1+x)f"(arctan x(arctan x)-(1+x2)'f(arctan x) (1+x2)2 f"(arctan x)-2xf'(arctan x) )2 5.利用 Leibniz公式计算y0) (1)y=arc tan; v= arc o 解(1)由y= 2x,令x=0,可得y0)=y"0 在 +x 等式y(1+x2)=1两边对x求n阶导数(n>1),得到 ☆y(mk)(1+x2)(k)=0, 注意到(1+x2)y"=0,上式简化为2 6 1 1 1 1 f x6 6 f x f x x x ⎡ ⎤ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ = − ′′′ + ′′ + ′ ⎢ ⎥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎣ ⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ x 。 （3） ( ) ( ) x f x f x f x x ' ln [ (ln )]'= ' ln (ln )'= , ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 '' ln (ln )' ' ln ( )' '' ln ' ln [ (ln )]'' x f x f x x f x x x f x x f x − = ⋅ − = 。 （4） ( ) '( ) [ln ( )]' f x f x f x = , ( ) ( ) ''( ) ( ) '( ) [ln ( )]'' 2 2 f x f x f x f x f x − = 。 （5）[ ( )]' '( )( )' '( ) x x x x x f e f e e e f e − − − − − = = − 2 [ ( )]'' ''( )( )' ( )' '( ) ''( ) '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e f e − − − − − − − − − = − − = + − x , 2 2 [ ( )]''' '''( )( )' ( )' ''( ) ''( )( )' ( )' '( ) x x x x x x x x x x f e e f e e e f e e f e e e f e − − − − − − − − − − = + + + − 3 2 x '''( ) 3 ''( ) '( ) x x x x x e f e e f e e f e − − − − − − = − − − 。 （6） 2 '(arctan ) [ (arctan )]' '(arctan )(arctan )' 1 f x f x f x x x = = + , 2 2 2 2 (1 ) ''(arctan )(arctan )' (1 )' '(arctan ) [ (arctan )]'' (1 ) x f x x x f f x x + − + = + x 2 2 ''(arctan ) 2 '(arctan ) (1 ) f x xf x x − = + 。 5．利用 Leibniz 公式计算 y( ) n (0) ： ⑴ y = arc tan x； ⑵ y x = arc sin 。 解（1）由 2 2 2 (1 ) 2 , '' 1 1 ' x x y x y + = − + = ，令 x = 0，可得 y'(0) = 1, y''(0) = 0 。在 等式 y'(1+ x 2 ) = 1两边对 x求n阶导数（n >1），得到 ∑= − + + = n k k n k k n C y x 0 ( 1) 2 ( ) (1 ) 0， 注意到(1+ x 2 )'''= 0 ，上式简化为 87