·90. 智能系统学报 第12卷 角矩阵B=diag(b,b2,…,bn)来表示。如果机器 同时，控制输入的变换方程为 人能获得虚拟领导者0的信息，则对角元素b,=1, (0:=u1i 否则b:=0。 (9) :=山2：+(1+k)u1x数 分布式编队控制的目标是基于邻居和自己的 通过上述变换，机器人运动学模型变为 状态信息，为每个机器人设计控制器，使整个机器人 队伍形成编队队形了，同时几何中心实现对虚拟领 (%u un 导者0的轨迹跟踪，即设计的控制器满足式 =u2i+kolunx2i (10) (4)-(7): x数=u1x2x-kou1:x3 「x(t)-x(t) 0 ≤i,j≤n,i≠ji 式中：0≤i≤n;k>0;x:,xx,x表示系统坐标变换后 的状态量；山1：，u2x表示系统坐标变换后控制输入。 (4) 通过上面的坐标变换式(8)，多移动机器人编 lim(0:-0）=0,0≤i≤n (5) 队问题转化为新状态变量x:,xx,x:实现一致的问 (6) 题。采用误差控制策略，定义变换后的状态误差为 n -xo(t)=0 =x1i-%10 n-()=0 (7) x2=x2i-X20 (11) 在介绍分布式控制算法之前，先给出本文的一 元=X3i一x30 些符号表示和多机器人系统满足的两个假设，以及 对式(11)求导可得 后面证明所需要用到的两个重要引理。 本文约定如下：1代表单位矩阵：1n=[11…1]T∈ 元h=山：-L0 (12) R”;入(·)和入mm(·)分别表示矩阵的最小特征值和 t2=山+klu:xg-x0 (13) 最大特征值；向量x的2-范数为‖x‖z,1-范数为 ‖x‖1；矩阵A的F-范数为‖AIp;当x= 元3=L1rx2:-kou1:x3数-u1ox20+kou10x0 [x1x2…xn],sign(x)=[sign(x1)…sigm(xn)],其 (14) 中，当x:≠0时，sigm(x)△x,/|x::当x=0时， 为了解决多机器人编队问题，把状态误差系 sig(x:)=0。 统式(12)~(14)分解为一个一阶子系统和一个 假设12-】仙。是持续激励信号，即存在正常 二阶子系统，其中一阶子系统的运动学方程为式 数α1、a2和δ，使得对于所有的t>0,满足 (12),二阶子系统的运动学方程为式(13)和式 +6 al≤，w(r)w(r)dr≤a,l (14)。考虑只有部分机器人与虚拟领导者0有 信息交互，设计山1：，使得一阶子系统式(12)在有 假设2图G是无向连通的，至少存在一个移 动机器人和虚拟领导者0是直接连通的，且这种连 限时间内收敛于0；设计山2：，使得二阶子系统式 通是单向的。 (13)和式(14)指数收敛于0。构造如下的分布 引理1]如果实数矩阵A∈R正定对称， 式控制律： 那么对于任意向量x∈R”都满足下面条件 aguy +bup) Amin(A)x'x≤x'Ax≤Am（A)x'x ∑4+b （-k6,-kig(e)+∑ 引理216对于矩阵B=diag(b1,b2,…,bn)> 0,如果无向图G连通，那么矩阵L+B是正定的。 (15) u2i=-k382i-kasign(82)-ko uuilx2i-uu83 2分布式控制算法 (16) 2.1控制器的设计 式中：1≤i≤n;k1,k2,k3≥0，ka≥K|x0;|x2o≤K; 为了便于控制器的设计，我们将移动机器人的 运动学模型进行坐标变换，使用如下的坐标变 )tb(x)6-() 换[1]： b(x-t0）8=ax-y)+b,(x-x0)。 x6=0: 根据控制律式(15)和式(16)，以机器人1为 xx=（x:-Pa)cos0:+（y:-Pr)sin0+ 例，控制算法的原理框图如图2所示。它由两部分 (8) kosign(ua）x3 组成，一部分为机器人坐标变换i∈日，另一部分为分 x3=(x:-p)sin :-(y:-Pi cos 0 布式控制器。角矩阵 Ｂ ＝ ｄｉａｇ （ ｂ１ ，ｂ２ ，…，ｂｎ ） 来表示。 如果机器 人 ｉ能获得虚拟领导者 ０ 的信息，则对角元素 ｂｉ ＝ １， 否则 ｂｉ ＝ ０。 分布式编队控制的目标是基于邻居和自己的 状态信息，为每个机器人设计控制器，使整个机器人 队伍形成编队队形 Ｆ，同时几何中心实现对虚拟领 导者 ０ 的 轨 迹 跟 踪， 即 设 计 的 控 制 器 满 足 式 （４） ～ （７）： ｌｉｍ ｔ→¥ ｘｉ（ｔ） － ｘｊ（ｔ） ｙｉ（ｔ） － ｙｊ（ｔ） é ë ê ê ù û ú ú ＝ ｐｉｘ － ｐｊｘ ｐｉｙ － ｐｊｙ é ë ê ê ù û ú ú ，０ ≤ ｉ，ｊ ≤ ｎ，ｉ ≠ ｊ （４） ｌｉｍ ｔ→¥ （θｉ － θ０ ） ＝ ０，０ ≤ ｉ ≤ ｎ （５） ｌｉｍ ｔ→¥ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｘｉ（ｔ） ｎ － ｘ０（ｔ） æ è ç ö ø ÷ ＝ ０ （６） ｌｉｍ ｔ→¥ ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｙｉ（ｔ） ｎ － ｙ０（ｔ） æ è ç ö ø ÷ ＝ ０ （７） 在介绍分布式控制算法之前，先给出本文的一 些符号表示和多机器人系统满足的两个假设，以及 后面证明所需要用到的两个重要引理。 本文约定如下：Ｉ 代表单位矩阵； １ｎ ＝ [１ １ … １] Ｔ∈ Ｒ ｎ ；λｍｉｎ（·）和 λｍａｘ（·）分别表示矩阵的最小特征值和 最大特征值；向量 ｘ 的 ２⁃范数为‖ｘ‖２，１ －范数为 ‖ｘ‖１； 矩 阵 Ａ 的 Ｆ － 范 数 为 ‖Ａ‖Ｆ； 当 ｘ ＝ ［ｘ１ ｘ２… ｘｎ］ Ｔ ，ｓｉｇｎ（ｘ）＝ ［ｓｉｇｎ（ｘ１ ） … ｓｉｇｎ（ｘｎ ）］ Ｔ ，其 中，当 ｘｉ ≠ ０ 时， ｓｉｇｎ（ｘｉ）􀰛 ｘｉ ／ ｘｉ ； 当 ｘｉ ＝ ０ 时， ｓｉｇｎ（ｘｉ）＝ ０。 假设 １ ［１２－１３］ ω０ 是持续激励信号，即存在正常 数 α１ 、α２ 和 δ，使得对于所有的 ｔ＞０，满足 α１ Ｉ ≤ ∫ ｔ＋δ ｔ ω０（τ）ω Ｔ ０（τ）ｄτ ≤ α２ Ｉ 假设 ２ 图 Ｇ 是无向连通的，至少存在一个移 动机器人和虚拟领导者 ０ 是直接连通的，且这种连 通是单向的。 引理 １ ［１５］ 如果实数矩阵 Ａ∈Ｒ ｎ×ｎ正定对称， 那么对于任意向量 ｘ∈Ｒ ｎ 都满足下面条件 λｍｉｎ（Ａ）ｘ Ｔ ｘ ≤ ｘ ＴＡｘ ≤ λｍａｘ（Ａ）ｘ Ｔ ｘ 引理 ２ ［１６］ 对于矩阵 Ｂ ＝ ｄｉａｇ（ ｂ１ ，ｂ２ ，…，ｂｎ ） ＞ ０，如果无向图 Ｇ 连通，那么矩阵 Ｌ＋Ｂ 是正定的。 ２ 分布式控制算法 ２．１ 控制器的设计 为了便于控制器的设计，我们将移动机器人的 运动学 模 型 进 行 坐 标 变 换， 使 用 如 下 的 坐 标 变 换［１３］ ： ｘ１ｉ ＝ θｉ ｘ２ｉ ＝ （ｘｉ － ｐｉｘ）ｃｏｓ θｉ ＋ （ｙｉ － ｐｉｙ）ｓｉｎ θｉ ＋ ｋ０ ｓｉｇｎ（ｕ１ｉ）ｘ３ｉ ｘ３ｉ ＝ （ｘｉ － ｐｉｘ）ｓｉｎ θｉ － （ｙｉ － ｐｉｙ）ｃｏｓ θｉ ì î í ï ïï ï ïï （８） 同时，控制输入的变换方程为 ωｉ ＝ ｕ１ｉ ｖｉ ＝ ｕ２ｉ ＋ （１ ＋ ｋ ２ ０ ）ｕ１ｉ ｘ３ｉ { （９） 通过上述变换，机器人 ｉ 运动学模型变为 ｘ · １ｉ ＝ ｕ１ｉ ｘ · ２ｉ ＝ ｕ２ｉ ＋ ｋ０ ｕ１ｉ ｘ２ｉ ｘ · ３ｉ ＝ ｕ１ｉ ｘ２ｉ － ｋ０ ｕ１ｉ ｘ３ｉ ì î í ï ï ï ï （１０） 式中：０≤ｉ≤ｎ；ｋ０＞０；ｘ１ｉ，ｘ２ｉ，ｘ３ｉ表示系统坐标变换后 的状态量；ｕ１ｉ， ｕ２ｉ表示系统坐标变换后控制输入。 通过上面的坐标变换式（８），多移动机器人编 队问题转化为新状态变量 ｘ１ｉ，ｘ２ｉ，ｘ３ｉ实现一致的问 题。 采用误差控制策略，定义变换后的状态误差为 ｘ ～ １ｉ ＝ ｘ１ｉ － ｘ１０ ｘ ～ ２ｉ ＝ ｘ２ｉ － ｘ２０ ｘ ～ ３ｉ ＝ ｘ３ｉ － ｘ３０ ì î í ï ï ï ï （１１） 对式（１１）求导可得 ｘ ·～ １ｉ ＝ ｕ１ｉ － ｕ１０ （１２） ｘ ·～ ２ｉ ＝ ｕ２ｉ ＋ ｋ０ ｕ１ｉ ｘ２ｉ － ｘ · ２０ （１３） ｘ ·～ ３ｉ ＝ ｕ１ｉ ｘ２ｉ － ｋ０ ｕ１ｉ ｘ３ｉ － ｕ１０ ｘ２０ ＋ ｋ０ ｕ１０ ｘ３０ （１４） 为了解决多机器人编队问题，把状态误差系 统式（ １２） ～ （ １４）分解为一个一阶子系统和一个 二阶子系统，其中一阶子系统的运动学方程为式 （ １２） ，二阶子系统的运动学方程为式（ １３） 和式 （ １４） 。 考虑只有部分机器人与虚拟领导者 ０ 有 信息交互，设计 ｕ１ｉ，使得一阶子系统式（ １２） 在有 限时间内收敛于 ０；设计 ｕ２ｉ，使得二阶子系统式 （ １３）和式（ １４） 指数收敛于 ０。 构造如下的分布 式控制律： ｕ１ｉ ＝ １ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ ＋ ｂｉ （－ ｋ１ε１ｉ － ｋ２ ｓｉｇｎ（ε１ｉ） ＋∑ Ｎ ｊ ＝１ ａｉｊｕ１ｊ ＋ ｂｉｕ１０） （１５） ｕ２ｉ ＝ － ｋ３ε２ｉ － ｋ４ ｓｉｇｎ ε２ｉ ( ) － ｋ０ ｕ１ｉ ｘ２ｉ － ｕ１ｉε３ｉ （１６） 式中：１≤ｉ≤ｎ；ｋ１ ，ｋ２ ，ｋ３≥０，ｋ４≥κ ｘ · ２０ ； ｘ · ２０ ≤κ； ε１ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｘ１ｉ －ｘ１ｊ）＋ｂｉ（ｘ１ｉ －ｘ１０ ）；ε２ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｘ２ｉ －ｘ２ｊ） ＋ ｂｉ（ｘ２ｉ －ｘ２０ ）；ε３ｉ ＝ ∑ ｊ∈Ｎｉ ａｉｊ（ｘ３ｉ －ｘ３ｊ）＋ｂｉ（ｘ３ｉ －ｘ３０ ）。 根据控制律式（１５） 和式（１６），以机器人 １ 为 例，控制算法的原理框图如图 ２ 所示。 它由两部分 组成，一部分为机器人坐标变换 ｉ∈θ，另一部分为分 布式控制器。 ·９０· 智 能 系 统 学 报 第 １２ 卷