第1期 李苗，等：一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 .89 链式结构，利用反步法设计的轨迹跟踪控制器达到 移动机器人i的线速度和角速度。文中假设非完整 了期望的效果。文献[8]采用一致性算法与虚拟结 约束移动机器人i满足纯滚动无滑动，用公式表示 构法研究了自主水下航行器小尺度编队控制问题， 为y:cos0:-x:sin0=0。 设计的跟踪控制律使AUV在有限时间内实现了对 参考轨迹的跟踪。文献[9]将虚拟结构法和反步法 相结合，提出的非线性控制算法解决了机器人编队 问题，但该算法要求机器人速度不能为0。 随着多智能体协同控制理论的发展，它的控制 策略已经被应用在多非完整移动机器人编队控制 中。文献[10]研究了离散模型的多智能体领航跟 随编队控制算法，在该算法中，通过引入基于邻居的 局部控制律以及基于邻居的状态估计规则设计了一 图1移动机器人示意图 种新型控制器，经过理论分析，给出了固定拓扑和切 Fig.I The sketch of mobile robot 换拓扑时系统稳定编队的充分条件。文献[11]在 每个移动机器人都知道参考轨迹信息的条件下，提 图论可以清晰完整地模拟移动机器人之间的连 出了一个移动机器人编队控制器。在持续激励的条 接关系，本文利用无向图来描述多移动机器人之间 件下，文献[12-13]利用非自治系统的级联控制方 的通信关系。令G=(V,E)表示一个无向图，V= 法和线性智能体的协同控制方法，将非完整约束多 {,2,…,n}表示由n个节点构成的节点集，ECVXV 个体系统的控制问题转化为多个线性时变系统的控 表示边的集合。如果(：，)∈E,则表示机器人i与 制问题，文中的控制律可以实现系统K指数稳定的 机器人了可以接收到彼此的信息。 跟踪控制。文献[14]提出了一种新坐标变换，将移 无向图G的邻接矩阵为A=[a:]eR“,其中 动机器人编队问题转化为状态变量实现一致的问 a表示(：，y)连接权重，即 题，设计的分布式控制律可以使系统指数收敛于期 1, a(t)= （:,）∈E,i≠j 望轨迹，但是每个机器人个体都要知道参考轨迹的 0. 其他 角速度。 在无向图中，(，号)∈E,则(，：)∈E,且ag= 在上述工作的基础上，本文进一步研究了非完 a,ij。如果(，y)∈E,那么是，的邻居顶 整移动机器人编队控制问题。文中通过引入坐标变 点。我们定义顶点：的邻居点集合为N=∈V: 换公式，将机器人编队问题转化为一致性问题。在 (:,y)∈E,i≠。 持续激励条件下，利用邻居信息设计了分布式控制 无向图G的度矩阵为D=diag(d1,d2,…,dn）, 协议，然后用图论和Lyapunov方法，在理论上证明 那么图G的拉普拉斯(Laplacian)矩阵为L=D-A。 了该控制协议的正确性。最后，文中通过MATLAB 假设n个移动机器人形成编队队形牙，(P, 仿真来验证该控制算法的可行性。不同于文献 Po,)为编队队形的几何中心，(PP)表示机器人 [12,14],本文把参考轨迹视为虚拟领导者，它的状 i相对于队形穿几何中心的期望位置矢量，即 态信息只有部分跟随者能接收到。与文献[11]相 ,二Poy (2) 比，考虑机器人之间只能进行局部信息交互，利用图 n 论和Lyapunov方法设计的分布式控制律，可以保证 为了计算简单，不失一般性，我们假设P.=0, 整个机器人队伍指数收敛于指定队形，并且队形几 P0,=0。 何中心收敛到参考轨迹。 整个机器人队伍的参考轨迹T的运动学模型为 1 问题的提出 [xo =vocos 0o yo="osin8。 (3) 考虑个非完整约束移动机器人组成的系统，系 统中的每个机器人具有相同的结构，有两个驱动轮和 0=o 一个自由轮，如图1所示。用0={1,2，…，n}表示移动 式中：o、wo为已知时变函数。在实际应用中，机器 机器人序列，移动机器人i的运动学表达式为 人群体完成特定任务时，只有一个或者几个移动机 器人知道任务的信息，其他机器人个体需要通过与 x:=v.cos 0 邻居的信息交互，才能完成特定的任务。因此为了 yi=visin 0 (1) 符合实际，本文将参考轨迹T视为虚拟领导者0的 8=w 运动轨迹，假设参考轨迹的信息并不是全局已知的， 式中：x,y:分别表示移动机器人i的笛卡尔坐标：0 采用牵制控制的思想，来实现多机器人编队控制。 为其航向角，即前进方向与X轴夹角；，w:分别为 移动机器人i与虚拟领导者0之间的通信关系用对链式结构，利用反步法设计的轨迹跟踪控制器达到 了期望的效果。 文献［８］采用一致性算法与虚拟结 构法研究了自主水下航行器小尺度编队控制问题， 设计的跟踪控制律使 ＡＵＶ 在有限时间内实现了对 参考轨迹的跟踪。 文献［９］将虚拟结构法和反步法 相结合，提出的非线性控制算法解决了机器人编队 问题，但该算法要求机器人速度不能为 ０。 随着多智能体协同控制理论的发展，它的控制 策略已经被应用在多非完整移动机器人编队控制 中。 文献［１０］研究了离散模型的多智能体领航跟 随编队控制算法，在该算法中，通过引入基于邻居的 局部控制律以及基于邻居的状态估计规则设计了一 种新型控制器，经过理论分析，给出了固定拓扑和切 换拓扑时系统稳定编队的充分条件。 文献［１１］ 在 每个移动机器人都知道参考轨迹信息的条件下，提 出了一个移动机器人编队控制器。 在持续激励的条 件下，文献［１２－１３］利用非自治系统的级联控制方 法和线性智能体的协同控制方法，将非完整约束多 个体系统的控制问题转化为多个线性时变系统的控 制问题，文中的控制律可以实现系统 Ｋ⁃指数稳定的 跟踪控制。 文献［１４］提出了一种新坐标变换，将移 动机器人编队问题转化为状态变量实现一致的问 题，设计的分布式控制律可以使系统指数收敛于期 望轨迹，但是每个机器人个体都要知道参考轨迹的 角速度。 在上述工作的基础上，本文进一步研究了非完 整移动机器人编队控制问题。 文中通过引入坐标变 换公式，将机器人编队问题转化为一致性问题。 在 持续激励条件下，利用邻居信息设计了分布式控制 协议，然后用图论和 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 方法，在理论上证明 了该控制协议的正确性。 最后，文中通过 ＭＡＴＬＡＢ 仿真来验证该控制算法的可行性。 不同于文献 ［１２，１４］，本文把参考轨迹视为虚拟领导者，它的状 态信息只有部分跟随者能接收到。 与文献［１１］ 相 比，考虑机器人之间只能进行局部信息交互，利用图 论和 Ｌｙａｐｕｎｏｖ 方法设计的分布式控制律，可以保证 整个机器人队伍指数收敛于指定队形，并且队形几 何中心收敛到参考轨迹。 １ 问题的提出 考虑 ｎ 个非完整约束移动机器人组成的系统，系 统中的每个机器人具有相同的结构，有两个驱动轮和 一个自由轮，如图 １ 所示。 用 θ＝｛１，２，…，ｎ｝表示移动 机器人序列，移动机器人 ｉ 的运动学表达式为 ｘ · ｉ ＝ ｖｉ ｃｏｓ θｉ ｙ · ｉ ＝ ｖｉ ｓｉｎ θｉ θ · ｉ ＝ ωｉ ì î í ï ï ï ï （１） 式中：ｘｉ，ｙｉ 分别表示移动机器人 ｉ 的笛卡尔坐标；θｉ 为其航向角，即前进方向与 Ｘ 轴夹角；ｖｉ，ωｉ 分别为 移动机器人 ｉ 的线速度和角速度。 文中假设非完整 约束移动机器人 ｉ 满足纯滚动无滑动，用公式表示 为 ｙ · ｉ ｃｏｓ θｉ －ｘ · ｉ ｓｉｎ θｉ ＝ ０。 图 １ 移动机器人示意图 Ｆｉｇ．１ Ｔｈｅ ｓｋｅｔｃｈ ｏｆ ｍｏｂｉｌｅ ｒｏｂｏｔ 图论可以清晰完整地模拟移动机器人之间的连 接关系，本文利用无向图来描述多移动机器人之间 的通信关系。 令 Ｇ ＝ （ Ｖ，Ｅ） 表示一个无向图，Ｖ ＝ ｛ｖ１，ｖ２，…，ｖｎ ｝表示由 ｎ 个节点构成的节点集，Ｅ⊆Ｖ×Ｖ 表示边的集合。 如果（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ，则表示机器人 ｉ 与 机器人 ｊ 可以接收到彼此的信息。 无向图 Ｇ 的邻接矩阵为 Ａ ＝ ［ ａｉｊ ］ ∈Ｒ ｎ×ｎ ，其中 ａｉｊ表示（ｖｉ，ｖｊ）连接权重，即 ａｉｊ（ｔ） ＝ １， （ｖｉ，ｖｊ） ∈ Ｅ，ｉ ≠ ｊ {０， 其他 在无向图中，（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ，则（ｖｊ，ｖｉ）∈Ｅ，且 ａｉｊ ＝ ａｊｉ，∀ｉ≠ｊ。 如果（ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ，那么 ｖｊ 是 ｖｉ 的邻居顶 点。 我们定义顶点 ｖｉ 的邻居点集合为 Ｎｉ ＝ ｛ ｊ∈Ｖ： （ｖｉ，ｖｊ）∈Ｅ，∀ｉ≠ｊ｝。 无向图 Ｇ 的度矩阵为 Ｄ ＝ ｄｉａｇ（ ｄ１ ，ｄ２ ，…，ｄｎ ）， 那么图 Ｇ 的拉普拉斯（Ｌａｐｌａｃｉａｎ）矩阵为 Ｌ ＝Ｄ－Ａ。 假设 ｎ 个移动机器人形成编队队形 Ｆ，（ ｐ０ｘ， ｐ０ｙ）为编队队形 Ｆ 的几何中心，（ｐｉｘ，ｐｉｙ）表示机器人 ｉ 相对于队形 Ｆ 几何中心的期望位置矢量，即 ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｐｉｘ ｎ ＝ ｐ０ｘ， ∑ ｎ ｉ ＝ １ ｐｉｙ ｎ ＝ ｐ０ｙ （２） 为了计算简单，不失一般性，我们假设 ｐ０ｘ ＝ ０， ｐ０ｙ ＝ ０。 整个机器人队伍的参考轨迹 Ｔ 的运动学模型为 ｘ · ０ ＝ ｖ０ ｃｏｓ θ０ ｙ · ０ ＝ ｖ０ ｓｉｎ θ０ θ · ０ ＝ ω０ ì î í ï ï ï ï （３） 式中：ｖ０ 、ω０ 为已知时变函数。 在实际应用中，机器 人群体完成特定任务时，只有一个或者几个移动机 器人知道任务的信息，其他机器人个体需要通过与 邻居的信息交互，才能完成特定的任务。 因此为了 符合实际，本文将参考轨迹 Ｔ 视为虚拟领导者 ０ 的 运动轨迹，假设参考轨迹的信息并不是全局已知的， 采用牵制控制的思想，来实现多机器人编队控制。 移动机器人 ｉ 与虚拟领导者 ０ 之间的通信关系用对 第 １ 期 李苗，等：一种多非完整移动机器人分布式编队控制方法 ·８９·