高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 断定这函数的极限不存在.下面用例子来说明这种情形。 考察函数 y x2+y2 x2+y2≠0， f(x,y)= 0, x2+y2=0, 显然，当点P(x,y)沿x轴趋于点(0,0)时， im,y)=lim/,0)=0; 又当点P(x,y)沿y轴趋于点(0,0)时， lim f(x,y)=lim f(0,y)=0. (x,y)+0.0) y→0 x=0 虽然点P(x,y)以上述两种特殊方式（沿x轴或沿y轴）趋于原点时函数的极限存在并且 相等，但是，limf(x,y)并不存在.这是因为当点P(x,y)沿着直线y=趋于点(0，O)时， (x,y)→00)1 有 y kx2 k lim x,0,0)x2+y210 0x2+k2x=1+k2' y=在 显然它是随着k的值的不同而改变的。 例3求lim sin(xy) (x,y)→02x 解 这里fx,)=sn(四的定义D={x,y水≠0，y∈R},B(0,2)为D的聚点。 x 由极限运算法则得 lim sin(xy)=lim (x,)0,2)x sin(x).limy=1.2=2. 0 xy 2 四、多元函数的连续性 定义3设二元函数f(x,y)的定义域为D,P(xo,y。)是D聚点，且P∈D.如果 lim f(x,y)=f(xo,yo), (x,y)→(x00) 则称函数f(x,y)在点P(x,yo)连续. 如果函数f(x,y)在开区域（或闭区域）D内的每一点连续，那么就称函数f(x,y)在D 内连续，或者称f(x,y)是D内的连续函数.二元连续函数的图形是一个无孔，无缝的曲面. 6