高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 定义4设二元函数f(x,y)的定义域为D,P(xo,y)是D聚点，如果函数f(x,y)在 点P(xo,yo)不连续，则称P是f(x,y)的间断点。 这里顺便指出：如果在开区域（或闭区域）D内某些孤立点，或者沿D内某些曲线， 函数∫(x,y)没有定义，但在D内其余部分都有定义，那么这些孤立点或这些曲线上的点， 都是函数f(x,y)的不连续点，即间断点。 前面已经讨论过的函数 x2+2, x2+y2≠0， f(x,y)= 0, x2+y2=0, 当(x,y)→(0,0)时的极限不存在，所以点(0,0)是该函数的一个间断点.二元函数的间断点 可以形成一条曲线，例如函数 1 Z=Sin x2+y2-1 在圆周x2+y2=1上没有定义，所以该圆周上各点都是间断点. 一元函数中关于极限的运算法则，对于多元函数仍然适用.即多元连续函数的和、差、 积仍为连续函数：连续函数的商在分母不为零处仍连续；多元连续函数的复合函数也是连续 函数。 由常数及具有不同自变量的一元基本初等函数经过有限次的四则运算和复合运算而得 到的，能用一个式子表示出来的多元函数，称为多元初等函数。 多元初等函数在其定义区域上都是连续的。 例4求lim x+y (x,→12)xy 解函数f化，)=+上是初等函数，它的定义域为 D={(x,y)x≠0，y≠0}. 因D不是连通的，故D不是区域.但D1={(x,y)x>0,y>O}是区域，且DCD,所 以D是函数f(x,y)的一个定义区域.因P(I,2)∈D,故 >