高等数学教案第八章 第九章多元函数微分法及其应用 3 lim x+y=f1,2)= x,-1,2)xy 如果这里不引进区域D,也可用下述方法判定函数f(x,y)在点P(1,2)处是连续的： 因P,是f(x,y)的定义域D的内点，故存在P的某一邻域U(P)cD,而任何邻域都是区 域，所以U(P)是f(x,y)的一个定义区域，又由于f(x,y)是初等函数，因此f(x,y)在点 P处连续， 般地，求limf(P),如果f(P)是初等函数，且P是f(P)的定义域的内点，则f(P) 在点P处连续，于是limf(P)=f(P). 例5求lim Vy+1-1 (x,r)→0.0) Xy 解lim Vy+1-1 lim y+1-1 =lim 1-1 (x,y)-→(0,0) Xy =00y(Vy+1+)=0.0Vy+1+12 与闭区域上一元连续函数的性质相类似，在有界闭区域上多元连续函数也有如下性质。 性质1（有界性与最大值最小值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数，必定在D上有 界，且能取得它的最大值和最小值。 性质1就是说，若P)在有界闭区域D上连续，则必定存在常数0，使得对一切PD, 有(P)sM且存在P、P2∈D,使得 fP)=max{P)lP∈D},P2)=min{P)lP∈D}, 性质2（介值定理）在有界闭区域D上的多元连续函数必取得介于最大值和最小值之 间的任何值。 一切多元初等函数在其定义区域内是连续的.所谓定义区域是指包含在定义域内的区域 或闭区域。 由多元初等函数的连续性，如果要求它在点P。处的极限，而该点又在此函数的定义区域内， 则极限值就是函数在该点的函数值，即 lim f(P)=f(P) P→P 小结：本讲将函数概念、极限概念及连续性概念推广到，给出了二元函数的函数概念、极限 概念及连续性概念。很自然地把这些概念推广元函数。一元函数中关于极限的运算法则