冷定理1518:R为有单位元交换环,且R≠{0}, 则R为域当且仅当R只有平凡理想{0}与R 冷证明:(1)R是域若R存在非平凡理想I 则存在a∈I,a≠0 因为R是域所以存在a的逆元an1∈R 因为是理想所以有aa=1∈I 因此对任意r∈R有r*1∈I, 今R= 冷(2)R只有平凡理想{0}与R, 对R的任一非零元a,证明存在逆元❖ 定理15.18:R为有单位元交换环,且R{0}, 则R为域当且仅当R只有平凡理想{0}与R ❖ 证明:(1)R是域.若R存在非平凡理想I, ❖ 则存在aI,a0. ❖ 因为R是域,所以存在a的逆元a -1R. ❖ 因为I是理想,所以有aa-1=1I ❖ 因此对任意rR,有r*1I, ❖ R=I ❖ (2)R只有平凡理想{0}与R, ❖ 对R的任一非零元a,证明存在逆元