72 Laurent级数求法举 第6页 多值函数的 Laurent展开 例73求函数1在1<<2及2<<∞内的幂级数展开 解本题中指定的展开区域是环形区域,所以,如果能作幂级数展开的话,得到的一定是 Laurent 级数 函数12-1有两个枝点:2=1和2=2,故在环域1<|<2内不可能作 Laurent展开 在环域2<|2|<∞内,函数ln 展开.例如,若规定在割线 是单值解析的,但仍必须明确规定单值分枝后,方可作 岸arg(z-2)-arg(z-1)=丌 于是有 2 1-1 21 13171 2z23z3 例74求P{2(-在0<w内的amr展开 解用级数乘法.因为 <∞, )2().H 即团>0 所以 M(2)”-1 cpGE(-)}-()>()=()=∑∑ +n)!(2 (+Wu Chong-shi §7.2 Laurent ÿ ✝￾✁✂✄ ✍ 6 ✎ ♦♣qìÖ Laurent ÔÕ ● 7.3 ❍✬✭ ln z − 2 z − 1 ✱ 1 < |z| < 2 r 2 < |z| < ∞ ❨ ◆❅❆✭✶✷❇ ■ ❧♠ ❫s❏◆✶✷◗❘❴❖P◗❘✹❑❏✹➫⑩➩✵❅❆✭✶✷◆t✹ ❊❋◆✪❏❴ Laurent ❆✭❇ ✬✭ ln z − 2 z − 1 ✺❸✫✉✴➙ z = 1 s z = 2 ✹ å✱❖ ❘ 1 < |z| < 2 ❨➦✰➩✵ Laurent ✶✷❇ ✱❖ ❘ 2 < |z| < ∞ ❨ ✹✬✭ ln z − 2 z − 1 ❴❚❯✲✳◆✹✈✇ ①② ③④⑤❏ ❚❯♣✉⑥✹▲✰✵ Laurent ✶✷ ❇⑦➫✹⑧ ⑤❏✱⑨❣ ❙⑩ arg(z − 2) − arg(z − 1) = π ✹ ❱ ln z − 2 z − 1     z=∞ = 0. ❳ ❴ ✺ ln z − 2 z − 1 = ln 1 − 2/z 1 − 1/z = ln  1 − 2 z  − ln  1 − 1 z  = " − 2 z − 1 2  2 z 2 − 1 3  2 z 3 − · · ·# − " − 1 z − 1 2  1 z 2 − 1 3  1 z 3 − · · ·# = − 1 z − 3 2 1 z 2 − 7 3 1 z 3 − · · · − 2 n − 1 n 1 z n − · · · . ● 7.4 ❍ exp  z 2  t − 1 t  ✱ 0<|t|<∞ ❨ ◆ Laurent ✶✷❇ ■ ❭❆✭Ü ▼❇á❑ e zt/2 = X∞ k=0 z 2 k t k k! , |t| < ∞, e −z/2t = X∞ l=0 z 2 l (−) l l!  1 t l ,    1 t    < ∞ ➡ |t| > 0, ❑❏ exp  z 2  t − 1 t  = X∞ k=0 z 2 k t k k! X∞ l=0 z 2 l (−) l l!  1 t l = X∞ k=0 X∞ l=0 (−) l k!l! z 2 k+l t k−l = X∞ n=0 hX∞ l=0 (−) l l!(l + n)! z 2 2l+n i t n + X−∞ n=−1 h X∞ l=−n (−) l l!(l + n)! z 2 2l+n i t n = X∞ n=−∞ Jn(z)t n