§2.5一维基本形的对合 定理222若一个一维射影变换f使得其一对对应元素相互对应 (成为互易偶,则f必为对合 证明设一维射影变换∫:(P)-(P)由其相异的三对对应元素 4P(i=1,2,3)确定则有 f:(,P2,B32)x(R,P2,B32) 现设P1,P1为f的一个互易偶,即 f:(,B12P2,B3,)x( P P 111:12:133 (B12P2B3)=(B1,P2P3) (2.18) 设P2作为(P)的元素时,其对应元素为(P)中的Q.来证Q=P2因为 f:(,B1,P2P2,B3)x(,B2P2,Q,B32…) (PP, PP)=(PP, P2=(PP, OP)=2=P f:(,B1,P2P2,B3)x(P,B,P2,P,B3 即P2,P2也是互易偶.同理,任意一对对应元素为互易偶,f为对合§ 2.5 一维基本形的对合 定理2.22 若一个一维射影变换f 使得其一对对应元素相互对应 (成为互易偶), 则f 必为对合. 证明 设一维射影变换 f : (P)→(P')由其相异的三对对应元素 Pi↔Pi '(i=1,2,3)确定. 则有 :( , , ,...) P1 P2 P3 f ( , , ,...) ' 3 ' 2 ' P1 P P 现设P1 , P1 '为f的一个互易偶, 即 :( , , , ,...) 2 3 ' f P1 P1 P P ( , , , ,...) ' 3 ' 1 2 ' P1 P P P ( , ) ( , ) (2.18) ' 3 ' 1 2 ' 2 3 1 '  P1 P1 P P = P P P P 设P2 '作为(P)的元素时, 其对应元素为(P')中的Q. 来证Q=P2 . 因为 :( , , , , ,...) 3 ' 2 2 ' f P1 P1 P P P ( , , , , ,...) ' 3 ' 1 2 ' P1 P P Q P ( , ) ( , ) ( , ) . 2 ' 2 ' 1 1 ' 1 2 ' 1 ' 2 2 '  P1 P1 P P = P P PQ = PP QP  Q = P :( , , , , ,...) 3 ' 2 2 '  f P1 P1 P P P ( , , , , ,...) ' 2 3 ' 1 2 ' P1 P P P P 即P2 , P2 '也是互易偶. 同理, 任意一对对应元素为互易偶, f 为对合