2,.,n,因而d|a,i=1,2,.,n,故d是|al,|a|,.,|al 的一个公因数，同法可证，1al,1a1,.,1a1的任一个公因数都 是a,.,an的一个公因数故a,a,.,a,与|al,|al,., 1a有相同的公因数，即()获证由（①）立得() 证完 定理1的()告诉我们，要讨论最大公因数不妨仅就非负整数 去讨论，下面我们首先看两个非负整数的情形 定理2若b是任一正整数，则()0与b的公因数就是b的 因数，反之，b的因数也就是0与b的公因数(i)(0,b)=b. 证显然0与b的公因数是b的因数.由于任何非零整数都 是0的因数，故b的因数也就是0，b的公因数，于是()获证，其 次，我们立刻知道b的最大因数是b:而0，b的最大公因数是b的 最大因数，故(0，b)=b 证完 由定理1,2立刻得到0 推论2.1若b是任一非零整数，则(0，b)=1b川 定理3设a,b,c是任意三个不全为0的整数，且 a=bg+c, 其中g是非零整数，则a,b与b,c有相同的公因数，因而(a,b) =(b,c) 证设d是a,b的任一公因数，由定义，da,d川b.由§1定 理3，d是c=a+(-q)b的因数，因而d是b,c的一个公因数 同法可证，b,c的任一公因数是a,b的一个公因数于是定理的前 一部分获证第二部分显然随之成立 证完 现在我们介绍一下辗转相除法它有很多应用：可用以求出两 个正整数的最大公因数：借此推出最大公因数的重要性质；还是解 一次不定方程的基本工具 设a,b是任意两个正整数，由带余数除法，我们有下面的系 ①我们用推论2.1表示定理2的推论1 ·5·2, ., n, 因而 d | | ai | , i = 1, 2 , ., n, 故 d 是 | a1 | , | a2 | , ., | an | 的一个公因数,同法可证, | a1 | , | a2 | , ., | an | 的任一个公因数都 是 a1 , a2 ,., an 的一个公因数 .故 a1 , a2 ,., an 与 | a1 | , | a2 | , ., | an | 有相同的公因数,即(i)获证 .由 (i)立得 (ii) . 证完 定理 1 的(ii) 告诉我们,要讨论最大公因数不妨仅就非负整数 去讨论,下面我们首先看两个非负整数的情形 . 定理 2 若 b 是任一正整数, 则 (i)0 与 b 的公因数就是 b 的 因数,反之, b 的因数也就是 0 与 b 的公因数 .(ii) ( 0, b) = b . 证 显然 0 与 b 的公因数是 b 的因数 .由于任何非零整数都 是 0 的因数, 故 b 的因数也就是 0, b 的公因数, 于是 ( i) 获证 .其 次,我们立刻知道 b 的最大因数是 b; 而 0, b 的最大公因数是 b 的 最大因数,故( 0, b) = b . 证完 由定理 1, 2 立刻得到① 推论 2.1 若 b 是任一非零整数,则 (0, b) = | b | . 定理 3 设 a, b, c 是任意三个不全为 0 的整数,且 a = bq + c, 其中 q 是非零整数, 则 a, b 与 b, c 有相同的公因数, 因而 ( a, b) = ( b, c) . 证 设 d 是 a, b 的任一公因数,由定义, d | a, d | b .由§1 定 理 3, d 是 c = a + ( - q) b 的因数, 因而 d 是 b, c 的一个公因数 . 同法可证, b, c 的任一公因数是 a, b 的一个公因数 .于是定理的前 一部分获证 .第二部分显然随之成立 . 证完 现在我们介绍一下辗转相除法 .它有很多应用: 可用以求出两 个正整数的最大公因数;借此推出最大公因数的重要性质; 还是解 一次不定方程的基本工具 . 设 a, b 是任意两个正整数, 由带余数除法, 我们有下面的系 · 5 · ① 我 们用推 论 2.1 表示 定理 2 的推论 1