2.证明3引n(n+1)(2n+1),其中n是任何整数 3.若a。+b是形如ax+bx,y)是任意整数，a,b是两个不全为零 的整数)的数中的最小正数，则 (a0+b)川(ax+by), 其中x,y是任何整数 4.若a,b是任意二整数，且b≠0，证明：存在两个整数s,1使得 a=临+1,1≤9 成立，并且当b是奇数时，s,1是惟一存在的当b是偶数时结果如何？ §2最大公因数与辗转相除法 有了带余数除法，我们就可以着手研究整数的最大公因数的 存在问题及其实际求法，在研究过程中，我们要用到基本而重要的 辗转相除法 定义设a,2,.,an是n(n≥2)个整数若整数d是它们 之中每一个的因数，那么d就叫作a,a,.,a,的一个公因数. 整数a,a2,.,a的公因数中最大的一个叫作最大公因数， 记作(a,c,.,a),若(a,.,a)=1,我们说a,.,a 互质或互素，若a,6,.,a。中每两个整数互质，我们就说它们两 两互质 显然，若整数a,&,.,a两两互质，则(a,a,.,a)=1, 反过来却不一定成立（很容易举出反例），且若a,.,a。不全 为零，则(a,a,.,a)是存在的. 为了讨论时免去区别正负整数的麻烦，我们先证明 定理1若a,a,.,an是任意n个不全为零的整数，则 ()a,a,.,a与|al,|al,.,a的公因数相同； (ii)(a,.,an)=(al,|a2l,.,lanl). 证设d是a,&,.,a.的任一公因数由定义da,i=1, ·4· 2. 证明 3 | n( n + 1) ( 2 n + 1) ,其中 n 是任何整数 . 3. 若 ax0 + by0 是形如 ax + by( x , y ) 是任意整数 , a, b 是两个不全为零 的整数) 的数中的最小正数 , 则 ( ax0 + by0 ) | ( ax + by ) , 其中 x , y 是任何整数 . 4. 若 a, b 是任意二整数 ,且 b≠0, 证明 :存在两个整数 s, t 使得 a = bs + t , | t |≤ | b | 2 成立 ,并且当 b 是奇数时 , s, t 是惟一存在的 .当 b 是偶数时结果如何 ? §2 最大公因数与辗转相除法 有了带余数除法,我们就可以着手研究整数的最大公因数的 存在问题及其实际求法,在研究过程中, 我们要用到基本而重要的 辗转相除法 . 定义 设 a1 , a2 ,., an 是 n ( n≥2 )个整数 .若整数 d 是它们 之中每一个的因数,那么 d 就叫作 a1 , a2 ,., an 的一个公因数 . 整数 a1 , a2 ,., an 的公因数中最大的一个叫作最大公因数, 记作( a1 , a2 , ., an ) , 若 ( a1 , a2 , ., an ) = 1, 我们说 a1 , a2 , ., an 互质或互素,若 a1 , a2 , ., an 中每两个整数互质,我们就说它们两 两互质 . 显然,若整数 a1 , a2 , ., an 两两互质, 则 ( a1 , a2 , ., an ) = 1, 反过来却不一定成立 (很容易举出反例) , 且若 a1 , a2 , ., an 不全 为零,则( a1 , a2 ,., an )是存在的 . 为了讨论时免去区别正负整数的麻烦,我们先证明 定理 1 若 a1 , a2 ,., an 是任意 n 个不全为零的整数, 则 (i) a1 , a2 ,., an 与 | a1 | , | a2 | ,., | an | 的公因数相同; (ii) ( a1 , a2 , ., an ) = ( | a1 | , | a2 | , ., | an | ) . 证 设 d 是 a1 , a2 , ., an 的任一公因数 .由定义 d | ai , i = 1, · 4 ·