证作整数序列 .,-3b,-2b,-b,0,b,2b,3b,. 则α必在上述序列的某两项之间，即存在一个整数q使得 qb≤a<(q+1)b 成立令a-qb=r,则a=bg+r,而0≤r<b 下面我们证明q,r的惟一性：设，n是满足(2)的两个整 数，则 a=bg+n,0≤n<b, 因而 bg +n=bq+r, 于是 b(q-q)=n-r, 故 blq-gl=In-rl. 由于r及都是小于b的正数，所以上式右边是小于b的如果 q≠q:则上式左边≥b这是不可能的.因此q=q而r=n.证完 整数的很多基本性质，都可以从定理4引导出来我们可以说 这一章最主要的部分是建立在定理4的基础上的. 定义(2)中的q叫做a被b除所得的不完全商，r叫作a被 b除所得到的余数. 为了更好地了解这个定义，我们举例说明如下 例设b=15,则当a=255时 a=17b+0,r=0<15,而q=17; 当a=417时， a=27b+12,0<r=12<15,而q=27; 当a=-81时， a=-6b+9,0<r=9<15,而q=-6 习题 1.证明定理3 ·3·证 作整数序列 ., - 3 b, - 2 b, - b, 0, b, 2 b, 3 b, . 则 a 必在上述序列的某两项之间, 即存在一个整数 q 使得 qb≤ a < ( q + 1) b 成立 .令 a - qb = r, 则 a = bq + r,而 0≤ r < b . 下面我们证明 q, r 的惟一性: 设 q1 , r1 是满足 ( 2 ) 的两个整 数,则 a = bq1 + r1 , 0≤ r1 < b, 因而 bq1 + r1 = bq + r, 于是 b( q - q1 ) = r1 - r, 故 b | q - q1 | = | r1 - r| . 由于 r 及 r1 都是小于 b 的正数, 所以上式右边是小于 b 的 .如果 q≠ q1 则上式左边≥ b .这是不可能的 .因此 q = q1 而 r = r1 .证完 整数的很多基本性质,都可以从定理 4 引导出来 .我们可以说 这一章最主要的部分是建立在定理 4 的基础上的 . 定义 (2 )中的 q 叫做 a 被 b 除所得的不完全商, r 叫作 a 被 b 除所得到的余数 . 为了更好地了解这个定义,我们举例说明如下: 例 设 b = 15,则当 a = 255 时 a = 17 b + 0, r = 0 < 15, 而 q = 17; 当 a = 417 时, a = 27 b + 12, 0 < r = 12 < 15, 而 q = 27; 当 a = - 81 时, a = - 6 b + 9, 0 < r = 9 < 15 ,而 q = - 6 . 习 题 1. 证明定理 3 . · 3 ·