整除这个概念虽然简单，但却是数论中的基本概念，我们很容 易从定义出发，证明下面那些关于可除性的基本定理 定理1（传递性）若a是b的倍数，b是c的倍数，则a是c 的倍数，也就是① bla,cb cla 证b1a,cb就是说存在两个整数a,使得 a=ab,b=b c 成立，因此 a=(ab)c, 但ab是一个整数，故cla. 证完 定理2若a,b都是m的倍数，则a士b也是m的倍数 证a,b是m的倍数的意义就是存在两个整数a,b,使得 a=a m,b=b m. 因此 a±b=(a±b)m 但a±b是整数，故a±b是m的倍数. 证完 用同样的方法，可以证明 定理3若a,2,.,a都是m的倍数，g,.,gn是任 意n个整数，则ga++.+g.a是m的倍数（证明留给读 者) 上面我们仅就能够整除的情形初步地讨论了一下，至于在一 般（即未必能整除的）情形下，我们有下面基本而重要的定理· 定理4（带余数除法）若a,b是两个整数，其中b>0,则存 在着两个整数9及r,使得 a=bg+r,0≤r<b (2) 成立，而且g及r是惟一的 ①我们用AB表示由命题A可以推出命题B ·2· 整除这个概念虽然简单,但却是数论中的基本概念, 我们很容 易从定义出发,证明下面那些关于可除性的基本定理 . 定理 1(传递性 ) 若 a 是 b 的倍数, b 是 c 的倍数, 则 a 是 c 的倍数,也就是① b | a, c| b c| a . 证 b| a, c| b 就是说存在两个整数 a1 , b1 使得 a = a1 b, b = b1 c 成立,因此 a = ( a1 b1 ) c, 但 a1 b1 是一个整数, 故 c| a . 证完 定理 2 若 a, b 都是 m 的倍数, 则 a± b 也是 m 的倍数 . 证 a, b 是 m 的倍数的意义就是存在两个整数 a1 , b1 ,使得 a = a1 m , b = b1 m . 因此 a± b = ( a1± b1 ) m , 但 a1± b1 是整数, 故 a± b 是 m 的倍数 . 证完 用同样的方法,可以证明 定理 3 若 a1 , a2 , ., an 都是 m 的倍数, q1 , q2 , ., qn 是任 意 n 个整数, 则 q1 a1 + q2 a2 + . + qn an 是 m 的倍数 .( 证明留给读 者 .) 上面我们仅就能够整除的情形初步地讨论了一下, 至于在一 般(即未必能整除的) 情形下,我们有下面基本而重要的定理 . 定理 4(带余数除法 ) 若 a, b 是两个整数, 其中 b > 0, 则存 在着两个整数 q 及 r,使得 a = bq + r,0≤ r < b ( 2) 成立,而且 q 及 r 是惟一的 . · 2 · ① 我 们用 A B 表示 由命题 A 可 以推出 命题 B