第二章离散型随机变量 k|N/N|P(k;3.870) 从表中可以看到,理论值(概率)和观察值(频率)两 00.02190.0209者都符合得相当好的事实上,在一些相当直观和合乎 10.07760.0807实际情况的前提下,人们已经证明这个随机变量的分布 20.14690.1562列是一个普哇松分布,我们在稍后将给出一个比较直观 30.20130.2015 的论证.由于许多实际问题中的随机变量都可以用普哇 松分布来描述,从而使得普哇松分布对于概率论的应用 5|0.15640.1509 来说,有着很重要的作用;而概率论理论的研究又表明 60.10470.0973 普哇松分布在理论上也有其特殊重要的地位,这里我们 70.05330.0538 只就二项分布与普哇松分布之间的关,人们已经证明这 80.01720.0260 个随机变量的分布列呈一个普哇松分布,我们在稍后将 0.01040.0112 给出一个比较直的论证.由于许多实际问题中的随机变 K≥100.00610.0066 量都可以用普哇松分布描述,从而使得井哇松分布对子 概率论的应用来说,有着很重要作用;而概率论理论的 研究又表明井哇松分布在理论上也有其殊重要的地位,这里我们只就二项分布与普哇松 分布之间的关系证明下述定理 四、二项分布的普哇松逼近: 定理2.1(普哇松定理)在n重贝努里试验中,事件A在一次试验中出现的概率为 pa(与试验总数n有关),如果当n→∞时,npn→λ(λ>0为常数),则有 b(k, n, p 2-k=0,1, 证明记npn=n,则 b (k; n, pn) (1-p)=n(n-1)…(n-k+1)(n kI k!( n 对于任一固定的k,显然有 m2= k-1 还有 从而 1b(k;,n,p) k 对任意的k(k=0,1,2,…)成立,定理得证第二章 离散型随机变量 ·５０· 从表中可以看到,理论值(概率)和观察值(频率)两 者都符合得相当好的.事实上,在一些相当直观和合乎 实际情况的前提下,人们已经证明这个随机变量的分布 列是一个普哇松分布,我们在稍后将给出一个比较直观 的论证.由于许多实际问题中的随机变量都可以用普哇 松分布来描述,从而使得普哇松分布对于概率论的应用 来说,有着很重要的作用;而概率论理论的研究又表明 普哇松分布在理论上也有其特殊重要的地位,这里我们 只就二项分布与普哇松分布之间的关,人们已经证明这 个随机变量的分布列呈一个普哇松分布,我们在稍后将 给出一个比较直的论证.由于许多实际问题中的随机变 量都可以用普哇松分布描述,从而使得井哇松分布对子 概率论的应用来说,有着很重要作用;而概率论理论的 研究又表明井哇松分布在理论上也有其殊重要的地位,这里我们只就二项分布与普哇松 分布之间的关系证明下述定理. 四、二项分布的普哇松逼近: 定理 2.1(普哇松定理)在 n 重贝努里试验中,事件 A 在一次试验中出现的概率为 pn(与试验总数 n 有关),如果当 n→ 时,npn→ (  >0 为常数),则有  − → = e k b k n p k n ! lim ( ; , ) , k=0,1,2, … 证明 记 npn=  n,则 b(k;n,pn)= k n p k n         (1-pn) n-k = n k n k n k n n n n n k −        −     − − +    1 ! ( 1)( 1) = n k n k n n n k k n n −        −      −  −       −      −   1 1 1 2 1 1 1 !  对于任一固定的 k,显然有 k k n n  =  → lim , 1 lim 1 lim 1 − − → − →  =       = −      − e n n n n n k n n n k n n n n     还有 1 1 1 1 lim 1  =      −  −      − → n k n n  从而  − → = e k b k n p k n ! lim ( ; , ) 对任意的 k(k=0,1,2,…)成立,定理得证. k Nk/N P(k;3.870) 0 0.0219 0.0209 1 0.0778 0.0807 2 0.1469 0.1562 3 0.2013 0.2015 4 0.2040 0.1949 5 0.1564 0.1509 6 0.1047 0.0973 7 0.0533 0.0538 8 0.0172 0.0260 9 0.0104 0.0112 K≥10 0.0061 0.0066