第二章离散型随机变量 这个定理有什么用呢?首先,它可以用来作近似计算.在二项分布中,要计算 b(k;n,p)=|p(1-p)°,当和都比较大时,计算量是令人烦恼的,如果这时m不太大(即 p较小),那么由普哇松定理就有 b(k;n,p)≈e- 其中λ=np,而要计算 2 h,有专用的普哇松分布表可查(见本书附录),这就方便多了 对于np=-1(n=10,20,40,100)的四种情形,表给出了直接按二项分布计算以及按上式 利用普哇松分布计算所得 的值 按b(k;n,p)=,lp(1-p)计算按e-计算 由表2.2可以看到,两 k 者的结果是很接近的,而且/k 当n越大时,近似的程度越 n=10n=20n=40n=100 1=np=1 好.下面是利用式作近似计 p=0.10p=0.05p=0.025p=0.01 算的一个具体例子 00.3490.3580.3630.386 0.368 [例5]己知某种疾病 0.3850.3770.3720.370 的发病率为1/1000,某单 0.1940.1890.186|0.185 0.184 位共有500间该单位[30.057[00600:0600.061 0.061 患有这种疾病的人数超过 0.0110.0130.0140.015 0.015 的概率为多大? 0.0040.0030.0050.003 0.004 [解]设该单位患有这一种疾病的人数为ξ,则 P(5)5)=∑P(5=k)=∑b(k500 1000 其中5009这时如果直接计算P(5>,计算量很 大.由于n很大,p很小,这时np=5000×0.001=5不很大,可以利用上述普哇松定理.取 5k查普哇松分布表可得 A=np=5,由公式就有P(2>5)=1-P(5≤5)≈1 k 0.616 于是P(5>5)≈1-0.616=0.384 在上述例子中,由于np不太大(即p较小),我们利用了普哇松定理作近似计算,比较第二章 离散型随机变量 ·５１· 这个定理有什么用呢?首先,它可以用来作近似计算.在二项分布中,要计算 b(k;n,p)=         k n p k (1-p)n-k ,当和都比较大时,计算量是令人烦恼的,如果这时np不太大(即 p 较小),那么由普哇松定理就有 b(k;n,p)≈  − e k k ! 其中  =np,而要计算  − e k k ! ,有专用的普哇松分布表可查(见本书附录),这就方便多了. 对于 np=1(n=10,20,40,100)的四种情形,表给出了直接按二项分布计算以及按上式 利用普哇松分布计算所得 的值. 由表 2.2 可以看到,两 者的结果是很接近的,而且 当 n 越大时,近似的程度越 好.下面是利用式作近似计 算的一个具体例子. [例 5] 己知某种疾病 的发病率为 1/1000,某单 位共有 5000 人,问该单位 患有这种疾病的人数超过 5 的概率为多大？ [解] 设该单位患有这一种疾病的人数为  ,则 P(  >5)=   = = = = 5000 6 5000 6 ) 1000 1 ( ) ( ;5000, k k P  k b k 其中 b(k;5000,0.001)=         k 5000 0.001k 0.9995000-k ,这时如果直接计算 P(  >5),计算量很 大.由于 n 很大,p 很小,这时 np＝5000×0.001＝5 不很大,可以利用上述普哇松定理.取  =np=5,由公式就有 P(  >5)=1-P(  ≤5)≈1- 查普哇松分布表可得   = − 5 0 5 ! 5 k k e k 0.616 于是 P(  >5)≈1-0.616＝0.384 在上述例子中,由于 np 不太大(即 p 较小),我们利用了普哇松定理作近似计算,比较 k 按 b(k;n,p)=         k n p k (1-p)n-k 计算 按  − e k k ! 计算 n=10 p=0.10 n=20 p=0.05 n=40 p=0.025 n=100 p=0.01  =np=1 0 0.349 0.358 0.363 0.386 0.368 1 0.385 0.377 0.372 0.370 0.368 2 0.194 0.189 0.186 0.185 0.184 3 0.057 0.060 0.060 0.061 0.061 4 0.011 0.013 0.014 0.015 0.015 >4 0.004 0.003 0.005 0.003 0.004