192 工程科学学报，第42卷，第2期 图8随机布点示意.(a)31×31节点：(b)45×45节点 Fig.8 Distribution of random nodes:(a)31x31 nodes;(b)45x45 nodes 算小方坯的凝固行为 为进一步分析节点随机布置的精度，分别提 图9是利用EFG法布置不同数量随机节点条 取基于EFG法和ANSYS有限元软件的距弯月面 件下的结晶器出口处铸坯表面温度计算结果.可 不同高度铸坯角部的温度值，与参考解作差值并 以看出，随机31×31节点得到的计算结果仍能保 对比，结果如表3所示.节点数目为45×45的EFG 持一定的数值的稳定性和精度，但在个别位置光 的结果精确度不仅高于31×31的有限元法，还明 滑性较差，精度略低于ANSYS均匀30×30单元的 显高于与其节点数目相近2056个单元的有限元边 数值解.与之相比，随机45×45节点模型数值解的 界加密模型的数值解精度.因此，可通过适度增加 光滑性有明显改善，与参考解吻合得较好，说明在 随机节点数目的方式来提高EFG法非规则模型数 节点有限加密的情况下，EFG法对非规则的随机 值解的精度，其结果显著优于单元数目相近的有 限元模型的计算精度. 布点的适应性较强，这种节点随机设置的方式在 基于网格模拟方法中是难以做到的， 4结论 (1)以结晶器内铸坯的传热和凝固过程为对 1300 象，建立并开发了基于EFG法的二维非稳态数值 1250 计算模型和专用计算程序 1200 (2)分别用EFG法和有限元ANSYS软件计算 1150 小方坯凝固过程，通过与细密单元的参考解对比， ANSYS3I×3I 证实EFG法计算铸坯的凝固过程时具有以下优 1100 参考解 0 随机31×31 点：相同均匀分布的单元数目下，EFG法温度计算 1050 A 随机45×45 结果的精度比有限元法高：FG法易于局部加密， 1000 0 20 406080.100120 140160 仅需少数节点即可得到比有限元法更高精确度的 与左侧角部的距离mm 数值解，适于跟踪梯度较大区域的数值变化情况： 图9结品器出口处铸坯表面温度分布 EFG法可通过适度增加随机节点的数目来提高模 Fig.9 Temperature distribution of billet surface at mold exit 拟结果的光滑性与精度，回避了网格模拟方法在 表3EFG45×45随机布点与有限元法数值解的对比 Table 3 Comparison of EFG 45x45 random nodes and FEM numerical results EFG(45×45节点) 有限元(31×31节点) 有限元加密(2056单元) 至弯月距离 温度/℃ 差值/℃ 温度℃ 差值/℃ 温度/℃ 差值/℃ 300mm 1139.51 0.50 1143.27 -3.26 1141.10 -1.09 600mm 1058.61 -0.03 1059.97 -1.39 1059.42 -0.84 结品器出口 1035.17 -0.06 1035.62 -0.51 1035.69 -0.58算小方坯的凝固行为. 图 9 是利用 EFG 法布置不同数量随机节点条 件下的结晶器出口处铸坯表面温度计算结果. 可 以看出，随机 31×31 节点得到的计算结果仍能保 持一定的数值的稳定性和精度，但在个别位置光 滑性较差，精度略低于 ANSYS 均匀 30×30 单元的 数值解. 与之相比，随机 45×45 节点模型数值解的 光滑性有明显改善，与参考解吻合得较好，说明在 节点有限加密的情况下，EFG 法对非规则的随机 布点的适应性较强，这种节点随机设置的方式在 基于网格模拟方法中是难以做到的. 为进一步分析节点随机布置的精度，分别提 取基于 EFG 法和 ANSYS 有限元软件的距弯月面 不同高度铸坯角部的温度值，与参考解作差值并 对比，结果如表 3 所示. 节点数目为 45×45 的 EFG 的结果精确度不仅高于 31×31 的有限元法，还明 显高于与其节点数目相近 2056 个单元的有限元边 界加密模型的数值解精度. 因此，可通过适度增加 随机节点数目的方式来提高 EFG 法非规则模型数 值解的精度，其结果显著优于单元数目相近的有 限元模型的计算精度. 4    结论 （1）以结晶器内铸坯的传热和凝固过程为对 象，建立并开发了基于 EFG 法的二维非稳态数值 计算模型和专用计算程序. （2）分别用 EFG 法和有限元 ANSYS 软件计算 小方坯凝固过程，通过与细密单元的参考解对比， 证实 EFG 法计算铸坯的凝固过程时具有以下优 点：相同均匀分布的单元数目下，EFG 法温度计算 结果的精度比有限元法高；EFG 法易于局部加密， 仅需少数节点即可得到比有限元法更高精确度的 数值解，适于跟踪梯度较大区域的数值变化情况； EFG 法可通过适度增加随机节点的数目来提高模 拟结果的光滑性与精度，回避了网格模拟方法在 表 3  EFG 45×45 随机布点与有限元法数值解的对比 Table 3 Comparison of EFG 45×45 random nodes and FEM numerical results 至弯月距离 EFG (45×45节点) 有限元 (31×31节点) 有限元加密 (2056单元) 温度/℃ 差值/℃ 温度/℃ 差值/℃ 温度/℃ 差值/℃ 300 mm 1139.51 0.50 1143.27 −3.26 1141.10 −1.09 600 mm 1058.61 −0.03 1059.97 −1.39 1059.42 −0.84 结晶器出口 1035.17 −0.06 1035.62 −0.51 1035.69 −0.58 (a) (b) 图 8    随机布点示意. （a） 31×31 节点; （b） 45×45 节点 Fig.8    Distribution of random nodes: (a) 31×31 nodes; (b) 45×45 nodes 温度/℃ 与左侧角部的距离/mm 0 20 40 60 80 100 120 140 160 1300 1250 1200 1150 1100 1050 1000 ANSYS 31×31 参考解 随机 31×31 随机 45×45 图 9    结晶器出口处铸坯表面温度分布 Fig.9    Temperature distribution of billet surface at mold exit · 192 · 工程科学学报，第 42 卷，第 2 期