2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 hf(x)bx=F(b)-C=F(b)-F(a)=F(x)。上述公 式称为牛顿一菜布尼兹公式特别还有 a f(r)dx=f(b)-f(a 牛顿一莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题,或求原函数问题。 利用牛顿一莱布尼兹公式,我们可以通过不定积分求的定积分的值 例6.4求x 解:x-1lx=(1-x)ax+/2(x-1) 2 注:对于分段定义的函数,定积分计算应特别注意分段积分。 例6.5求 Sinxax #: J 1-sin xdx=sosin -cos ldx X Se cos -sin dx+SI sin-cos dx 4√2-4. x-1x<0 例6.6设(x) x+1x>0块门f(x)dx. 解:解法f(x)在[-1,1区间内有第类间断点,因此在[一1,1区间内不存 在原函数,不能用牛顿一莱布尼兹公式.利用对区间的可加性有 I f(x)dx=o f(x)dx+5o f(x)dx 在[-1,0],[O,1内分别可以用牛顿莱布尼兹公式 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -5-清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 b a b a f (x)dx F(b) C F(b) F(a) F(x) ∆ ∫ = − = − = 上述公 式称为牛顿—莱布尼兹公式.特别还有 f (x)dx f (b) f (a) b ∫a ′ = − 。 牛顿—莱布尼兹公式使得定积分的计算转化为求不定积分问题，或求原函数问题。. 利用牛顿—莱布尼兹公式，我们可以通过不定积分求的定积分的值。 例 6．4 求 ∫ − 。 2 0| x 1| dx 解: ∫ − = ∫ − + ∫ − 2 1 1 0 2 0 | x 1| dx (1 x)dx (x 1)dx 1 2 2 2 1 2 1 0 2 ⎟ = ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − x x x x 注：对于分段定义的函数，定积分计算应特别注意分段积分。 例 6．5 求 1 sin . ∫0 − π xdx 解: ∫ − = ∫ − π π 0 0 2 cos 2 1 sin . sin dx x x xdx ∫ ∫ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ + − ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = − π π π 2 20 2 cos 2 sin 2 sin 2 cos dx x x dx x x = 4 2 − 4. 例 6．6 设 ⎩ ⎨ ⎧ + > − ≤ = 1 0 1 0 ( ) x x x x f x , 求 ∫ 。 − 1 1 f (x)dx 解: 解法一 f (x)在[−1,1]区间内有第一类间断点, 因此在[−1,1]区间内不存 在原函数, 不能用牛顿—莱布尼兹公式. 利用对区间的可加性有 ∫− = ∫− +∫ 1 0 0 1 1 1 f (x)dx f (x)dx f (x)dx 在[−1,0],[0,1]内分别可以用牛顿—莱布尼兹公式, 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 5 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785