2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 1,=asin(sin x dx <jasindx=1. 而cOSx为减函数,则有cOS(SInx)>Snx,于是 L,=Jacos(sin x dx >jacos xdx=1>l 例6.2估计积分e 的范围 解 max(x2-2x)=0.min x [0,2 [0,2 2e=eax≤l ≤leax=2 例6 设M=xln2(x+√1+x2) N=1-.,dx,P= x √1+x (1+x2) 则(A )BP<M<N。()M<N<P cc)M<P<N. (D)N<P<M 解:由于M为奇函数在对称区间的积分,故为0; N=2∫ 21+x21=2(2-1)>0 P=-2 dx<O (1+x2) 所以P<M<N 6.2牛顿一莱布尼兹公式与定积分的计算 6.2.1牛顿一莱布尼兹公式及其应用 定理6。3牛顿一菜布尼兹公式 若f(x)是[a,b]上的连续函数,F(x)为f(x)在[a,b上的一个原 函数,则存在常数C,使F(x)=f(t)dt+C,Vx∈[a,b]或 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -4-清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 I = ∫ 0 2 x dx 1 sin(sin ) π < ∫0 2sindx =1 π ， 而cos x 为减函数，则有cos(sin x) > sin x ，于是 I = ∫ 0 2 x dx 2 cos(sin ) π 1 2 > ∫0 cos xdx =1 > I π 。 例 6．2 估计积分 ∫ 的范围. 2 − 0 2 2 e dx x x 解: [ ]( ) [ ] max 2 0, min( 2 ) 1 2 0,2 2 0,2 − = − = − ∈ ∈ x x x x x x ， 2 2 2 0 2 0 0 2 2 0 1 1 2 = ∫ ≤ ∫ ≤ ∫ = − − − e e dx e dx e dx x x 例 6 ． 3 设 M x ln (x 1 x )dx 1 2 2 = ∫−1 + + ， dx x x x N ∫− + + = 1 1 2 3 1 ， ∫− + − = 1 1 2 2 3 (1 ) 1 dx x x P ， 则(A) 。 (A)P < M < N 。 (B)M < N < P 。 (C)M < P < N 。 (D)N < P < M 。 解：由于 M 为奇函数在对称区间的积分，故为 0； 2 1 2( 2 1) 0 1 2 1 0 1 0 2 2 2 = + = − > + = ∫ x x dx N 0 (1 ) 1 2 2 2 1 0 < + = − ∫ dx x P 所以 P < M < N 。 6.2 牛顿—莱布尼兹公式与定积分的计算 6.2．1 牛顿—莱布尼兹公式及其应用 定理 6。3 牛顿—莱布尼兹公式 若 f (x)是[a,b]上的连续函数, F(x) 为 f (x)在 上的一个原 函数, 则存在常数C, 使 [a,b] F x f t dt C x ( ) = ∫a ( ) + , ∀x ∈[a,b]或 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 4 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785