2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 f(xg(x)dx=f(ssag(x)d 特别 g(x)≡1时,彐5∈[a,b 使 bf(x)dx=f((b-a).或 f(x)dx 6-a b1(x)(平均值 事实上还可进一步证明彐50∈(an,b),使上述结论成立 )若f(x)在[一a,a]上是可积的奇函数则f(x)dhx=0 若f(x)在[—a,a]上是可积的偶函数 f(dx= 2of(x)dx (9)若f(x)是可积的周期函数,切周期为T,则对任意是实数a必有 f at f(xdx=o f(x )dx 0)若连续函数(x)满足∫f(x)dx=O,则存在x0∈(an,b)使得 f(x0)=0 (证明方法1:由中值定理;证明方法2:由连续函数的保号性) (11)若非负连续函数 f(x)是∫bf(x)lhx=0,则 Vx∈{a,b],f(x)≡0 (证明方法:由连续函数的保号性与积分的保号性反证 例6.1设 :1= Jasin(sin x dx, 1,=jacos(sin x ) dx, (A) )1<1<l2,(B)1>1>12 (C) (D) 解]当x∈(?′Sinx<x,且Sinx为增函敷,于是 sin(sin x)< sin x, 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com -3-清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 ∫ = ∫ b a b a f (x)g(x)dx f (ξ ) g(x)dx 特别, g(x) ≡ 1 时 , ∃ξ ∈[a,b], 使 f (x)dx f ( )(b a) b ∫ a = ξ − , 或 __________ [ , ] ( ) ( ) ( ) f f x b a f x dx a b b a = = − ∫ ξ （平均值） 事实上还可进一步证明 ( , ), ∃ξ 0 ∈ a b 使上述结论成立。 （8）若 f (x)在[−a,a]上是可积的奇函数, 则 ∫ ( ) = 0; − a a f x dx 若 f (x) 在 上 是 可 积 的 偶 函 数 , 则 。 [−a,a] ∫− = ∫ a a a f (x)dx 2 0 f (x)dx （9）若 f (x)是可积的周期函数, 切周期为T ，则对任意是实数 a 必有 ∫ = ∫ a+T T a f (x)dx 0 f (x)dx （10）若连续函数 f (x)满足 ∫ ( ) = 0 b a f x dx ，则存在 ( , ) x0 ∈ a b 使得 f (x0 ) = 0 。 （证明方法 1：由中值定理；证明方法 2：由连续函数的保号性） （ 11 ） 若非负 连续函 数 f (x) 满 足 ∫ ( ) = 0 ， 则 b a f x dx ∀x ∈[a,b], f (x) ≡ 0。 （证明方法：由连续函数的保号性与积分的保号性反证） 例 6．1 设 I = ∫0 2 x dx 1 sin(sin ) π ，I = ∫0 2 x dx 2 cos(sin ) π ，则 ( A ). （A） 1 1 2 I < < I 。 （B） 1 1 2 I > > I 。 （C） 1 2 I = I 。 （D） I1 > I 2 >1. [ 解 ] 当 ) 2 (0, π x ∈ ， sin x < x ， 且 sin x 为 增 函 数，于 是 sin(sin x) < sin x, 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 3 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785