2005水木艾迪培训学校清华东门外创业大厦1006 清华大学理科楼1101电话:62781785 定理6。2函数在有界闭区间a,b可积的充分条件(满足下列条件之一即可 f(x)在区间[a,b]上单调有界: ()f(x)在区间[a,b上有界,且只有有限个间断点; f(x)在区间[a,b]上连续 定积分定义在考研中的应用利用积分和式求特定极限(见后述例题) 6.1.3定积分的性质及常用结论 )∫af(x)ax=-f(x)lhx (2)对 积 分 区 间 的 可 性 Vc∈R,Jaf(x)dx=∫af(x)ax+∫bf(x)dx对被 积函数满足线性性 SalAf(x)+ Bg(x) ldx= a af(x)dx+bag(x)dx 保序性(保号性):若可积函数f(x)≥0,Vx∈[a,b],则 ∫af(x)dx≥0 若可积函数f(x)g(x)满足f(x)≥g(x),则 af(x)akx≥∫bg(x)ax. 特别,若非负连续函数f(x)在[a,b]上不恒为,则∫bf(x)dx>0 (3)若f(x)在[a,b]上可积则f(x)在[a,b]上也可积且 a f(x)dx a f(x)dx (估值定理:若可积函数f(x)在a,b]上满足m≤f(x)≤M,则 m(b-a)≤Jaf(x)ax≤M(b-a) 进一步,若函数8(x)[anb]上非负可积,则(称为比较性质 mg(x)dx≤jbf(x)g(x)dx≤M∫ag(x)dx G积分中值定理:若函数f(x)在[a,b连號,g(x)在[a,b]上取定号且 积 则5∈(a2b) 使 水木艾迪考研培训网www.tsinghuatutor.com 2-清华大学理科楼1101电话:627817852005 水木艾迪培训学校 清华东门外创业大厦 1006 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785 定理 6。2 函数在有界闭区间[a,b]可积的充分条件(满足下列条件之一即可) (1) f (x)在区间[a,b]上单调有界; (2) f (x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点; (3) f (x)在区间[a,b]上连续. 定积分定义在考研中的应用 利用积分和式求特定极限（见后述例题） 6.1.3 定积分的性质及常用结论 (1) ∫ = −∫ a b b a f (x)dx f (x)dx (2) 对积分区间的可加性: ∀ ∈ ∫ = ∫ + ∫ b c c a b c R, a f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx 对 被 积函数满足线性性: ∫ [ ] + = ∫ + ∫ b a b a b a Af (x) Bg ( x) dx A f ( x)dx B g ( x)dx 保序性（保号性）: 若可积函数 f (x) ≥ 0, ∀x ∈[a,b], 则 ∫ ( ) ≥ 0。 b a f x dx 若 可 积 函 数 f (x), g(x) 满 足 f (x) ≥ g(x) , 则 ∫ ≥ ∫ 。 b a b a f (x)dx g(x)dx 特别，若非负连续函数 f (x)在[a,b]上不恒为零， 则 ∫ ( ) > 0。 b a f x dx (3) 若 f (x)在[a,b]上可积, 则 f (x)在[a,b]上也可积, 且 ∫ ≤ ∫ b a b a f (x)dx f (x) dx (4) 估值定理: 若可积函数 f (x)在[ a , b ] 上满足m ≤ f (x) ≤ M , 则 m(b a) f (x)dx M (b a) b − ≤ ∫ a ≤ − 进一步, 若函数 g(x) 在[a,b]上非负可积, 则（称为比较性质） ∫ ≤ ∫ ≤ ∫ b a b a b m a g(x)dx f (x)g(x)dx M g(x)dx (5) 积分中值定理: 若函数 f (x)在[a,b]上连续, g(x) 在 上取定号且 可积, 则 [a,b] ∃ξ ∈(a,b), 使 水木艾迪考研培训网 www.tsinghuatutor.com - 2 - 清华大学 理科楼 1101 电话：62781785