102 高等数学重点难点100讲 任意指定x>x,在[x,x上对f(x),g(x)使用柯西中值定理(注意到g(x)>0),得 f(x)-f(x)|_|尸( px)-(xo) y() K<1(x0<日<x) 即 If(r)-f(o)I<p(x)-(ro)(x>Io). 利用柯西中值定理证题的方法步骤与拉格朗日中值定理类似,第一步“选函数、选区间” 是至关重要的 例5设x1x2>0,试证:在x1与x2之间存在一点5,使得 , (1-)e( 证把欲证之式变形为 r, l (1-5)e,或 11=(1-)e 等式左边表明:分子是函数f(x)=在[x1,x2](不妨设x2>x1)上的增量,分母是函 数F(x)=在[x1,x2]上的增量因此对函数f(x)=与 在[x1,x2]上使用 柯西中值定理注意到条件x1x2>0保证了区间[x1,x2]不含原点,所以F(x)总存在且不 为零. (1-:)e°, 1 化简整理,得x1e2-x2e=(1-5)e(x1-x2)(x1<<x2) 有些结论需要多次使用柯西中值定理才能证明 例6设函数y=f(x)在x=0的某邻域内具有n阶导数,且f(0)=f(0)=…= f"-1(0)=0,试用柯西中值定理证明 f(x)f”() 在0与x之间 证首先在x=0的邻域内任意指定一个x,为了方便,不妨设x>0. (1)对f()与F()=口在[0,x]上使用柯西中值定理,得 f(x)_f(x)-f(0)_f() f(s;)(0<5<x) (2)对f(t)与F'(t)=nt-1,在[0,1]上使用定理,得 f1)f(1)-f(0)f"(t) (2) 1n年1 n·O (n-1) (n)对f-()与=F(o-(t)=n!t在[0,n-1]上使用定理,得 -n(n-1)f-(,-)-f-(0)f() 5) n!4 !, (0<§<-1<…<<x) 综合(1)(2),…,(m,得〖(x)=f( n!(0<§<x)