第32讲微分中值定理(3) 101 第32讲微分中值定狸(3) 、利用拉格朗日中值定理求极限 例1设函数f(x)在点a的某个邻域内可导,且导函数f(x)在点a处连续,求极限 lim f(a+ r)-f(a-r 解对∫(t)在以a-x,a+x为端点的区间使用拉格朗日中值定理,得 f(a+x)-f(a-x) f(a +x)-f(a-x) f() 2x (在a-x与a+x之间) 当x→0时,a-x→a,a+x→a,由两边夹法则知→a.又因∫(x)在点a连续,所 以lim fca+r)-f(a-x) limf(s)=f(a) 例2求lmn( )( 解a、a是f(x)=a在x=n·n处的值对f(x)=a在区间、(n>1) 上使用定理得11=(a)=a1ma(1<<1),当n→∞时,由两边夹法则知 →0,从而a2→1,原式= limina on= Ina 例3求极限limx2[ Inarctan(x+1)- Inarctanx 解令f(t)= Inarctant,当x>0时,f(t)在[x,x+1]上满足拉格朗日中值定理的 条件,于是有 Inarctan(x+1)-lnarctanx=-1 actant 1+t2- arctan 1+(x<5<x+1) 故原式=lim 以 +52 arctan 二、利用柯西中值定理证明等式或不等式 柯西中值定理是拉格朗日中值定理当函数y=f(x)表示为=F() 时的一种推 广,拉格朗日中值定理说明了函数关于自变量在某一区间内的平均变化率等于它在该区间 内某点处的瞬时变化率,而柯西中值定理进一步说明了一个函数对另一函数的相互变化率 问题 例4设gx)为单调增加的可微函数,且当x≥x时,|f(x)|<y(x),试证:当 时,|f(x)-f(x0)<(x)-y(xo) 证从物理上看,上述结论是显然的.设想当x>x时,函数f(x)的每一点的增长速 度|f(x)小于函数g(x)的增长速度中(x),则f(x)的增量|f(x)-f(x)必然小于yx) 的增量yx)-g(x).其实,用柯西中值定理很容易证明这个事实