性的∫（旧x),以及反映未来观测值变异性的∫(z9)。 由式(3)得 Pr(Z≤zx)=Pr(Z≤zP)/(0r)d (4) 式(4)给出了水文要素样本的未来分布，其中含有参数的不确定性和未来观测值的随机性。 解方程Pr(Z≤zx)=1-1/m,就可得到m年重现水平的设计洪水值（即1-1/m分位数），本文包 含了由于模型估计引起的不确定性。其中：式(4)的估计值可以用MCMC模拟方法估计后验分布得 到。在删除了模拟序列前面一些数值之后，剩下的序列01，…，日，就可看作来自平稳分布∫(6) 的观测值。 3后验分布随机样本的MCMC模拟 MCMC方法的目的是模拟产生服从式(2)中后验分布的随机样本，然后用模拟样本来估计后验分 布。例如，用模拟样本的均值估计后验均值，用模拟样本的直方图估计后验分布的密度等。该方法 产生的模拟序列0。，0，82，…为一阶马尔科夫链，其中0。为任意初始值，6：由条件分布q(9)产 生，即01只依赖于当前的0，与以前的9。，9，…，0-1无关。记p(0,0)=q(0+1=0'9:=0)称为转 移核，它表示当0，=0时，经一步迭代后的马尔科夫链的边缘分布，且假定与i无关，即马尔科夫 链是时间齐次。若后验分布∫(0x)满足 Jp(0,9)f(ex)d0=f(0'),0'eΘ (5) 则称∫(0x)为转移核p(0,0)的平稳分布。因此，如果能使得0。的分布就是∫（日x),则由平稳 分布的定义可保证任一，的边缘分布也是∫(0x)。但实际上，这是难以实现的。之所以要用MCMC 方法，就是因为后验分布∫（日x)的抽样比较麻烦。实际证明，不同的，对日，的分布并没有显著影响。 对不同的初值。，虽然其实际分布并不一定是∫（旧x),但经过一段时间的迭代后，可以认为此时的日 的边缘分布就是平稳分布∫(0x),称为收敛0。只需抛掉收敛之前的6，…，，用以后的01，…， 0作为后验分布∫(6x)的抽样即可。 在采用MCMC方法时，条件分布q(~9:)对马尔科夫链的影响非常重要，只有合适的转移核才能满 足式(5)，使∫(0x)为平稳分布。不同的转移核相应于不同的MCMC方法。Metropolis--Hastings算法 是较早出现且最有名的MCMC方法，它由Metropolis等人提出，之后由Hastings对其加以推广而形 成。此外，还有Gibbs?算法等，Gibbs算法是Metropolis-Hastings算法的一个特例。近年来，一些学者 尝试将贝叶斯MCMC方法引入水文频率分析和水文预报领域-o。本文采用Metropolis--Hastings算法 进行后验分布随机样本的MCMC模拟，选定建议分布g(9:)和初值日。，第i次迭代的具体步骤如下： (1)由q(9)产生一个新的建议值0： (2)根据选择的似然函数、先验分布和转移核，计算接受概率 f(x9)π(09(lB) a;min, (6) f(xa.)π(a,)9(oe） (3)以概率a接受0为下一个9：+即 0,u≤&a: 0:+1= (7) 8,u>a 其中，u是[0,1]均匀分布随机数。 -944-性的 f (θ |x )，以及反映未来观测值变异性的 f (z |θ )。 由式（3）得 Pr (Z ≤ z |x ) = Θ Pr (Z ≤ z |θ ) f (θ |x )dθ （4） 式（4）给出了水文要素样本的未来分布，其中含有参数的不确定性和未来观测值的随机性。 解方程Pr (Z ≤ z |x ) = 1 - 1 m，就可得到 m 年重现水平的设计洪水值（即1 - 1 m分位数），本文包 含了由于模型估计引起的不确定性。其中：式（4）的估计值可以用 MCMC 模拟方法估计后验分布得 到。在删除了模拟序列前面一些数值之后，剩下的序列θk+1，…，θk+s就可看作来自平稳分布 f (θ |x ) 的观测值。 3 后验分布随机样本的 MCMC 模拟 MCMC 方法的目的是模拟产生服从式（2）中后验分布的随机样本，然后用模拟样本来估计后验分 布。例如，用模拟样本的均值估计后验均值，用模拟样本的直方图估计后验分布的密度等。该方法 产生的模拟序列θ0，θ1，θ2，…为一阶马尔科夫链，其中θ0 为任意初始值，θi+1 由条件分布q (∙ |θ )i 产 生，即θi+1只依赖于当前的θi ，与以前的θ0，θ1，…，θi-1无关。记 p (θ，θ ′) = q (θi + 1 = θ ′ |θi = θ )称为转 移核［6，16］ ，它表示当θi = θ 时，经一步迭代后的马尔科夫链的边缘分布，且假定与 i 无关，即马尔科夫 链是时间齐次。若后验分布 f (θ |x )满足  p (θ，θ ′) f (θ |x )dθ = f (θ ′ |x )，∀θ ′ ∈ Θ （5） 则称 f (θ |x )为转移核 p (θ，θ ′)的平稳分布。因此，如果能使得θ0的分布就是 f (θ |x )，则由平稳 分布的定义可保证任一θi的边缘分布也是 f (θ |x )。但实际上，这是难以实现的。之所以要用 MCMC 方法，就是因为后验分布 f (θ |x )的抽样比较麻烦。实际证明，不同的θ0对θi的分布并没有显著影响。 对不同的初值θ0，虽然其实际分布并不一定是 f (θ |x )，但经过一段时间的迭代后，可以认为此时的θi 的边缘分布就是平稳分布 f (θ |x )，称为收敛［6］ 。只需抛掉收敛之前的θ1，…，θk，用以后的θk+1，…， θn作为后验分布 f (θ |x )的抽样即可。 在采用 MCMC 方法时，条件分布q (∙ |θ )i 对马尔科夫链的影响非常重要，只有合适的转移核才能满 足式（5），使 f (θ |x )为平稳分布。不同的转移核相应于不同的 MCMC 方法。Metropolis-Hastings 算法 是较早出现且最有名的 MCMC 方法，它由 Metropolis 等人提出，之后由 Hastings 对其加以推广而形 成。此外，还有 Gibbs 算法等，Gibbs 算法是 Metropolis-Hastings 算法的一个特例。近年来，一些学者 尝试将贝叶斯 MCMC 方法引入水文频率分析和水文预报领域［17-20］ 。本文采用 Metropolis-Hastings 算法 进行后验分布随机样本的 MCMC 模拟，选定建议分布q (∙ |θ )i 和初值θ0，第 i次迭代的具体步骤如下： （1）由q (∙ |θ )i 产生一个新的建议值θ * ； （2）根据选择的似然函数、先验分布和转移核，计算接受概率αi αi = min ì í î ï ï ü ý þ ï ï 1， f ( x |θ ) * π(θ ) * q (θi |θ ) * f ( x |θ )i π(θ )i q (θ | ) * θi （6） （3）以概率αi接受θ * 为下一个θi + 1 ，即 θi + 1 = ì í î θ * ，μ ≤ αi θi，μ > αi （7） 其中，μ是［0，1］均匀分布随机数。 — 944 —