GEV分布用统一的形式表示Gumbel分布、Frechet分布和Weibull分布等3种极值分布类型，是分 析随机变量极端变异性的一个重要分布，广泛应用于水文、气象、保险和金融等领域。GEV分布 常用的参数估计方法包括极大似然估计法、线性矩法和矩法等，其中以极大似然估计法最为常用四。 然而，虽然极大似然估计法从考虑不确定性出发，可以计算极值变量分位数的置信区间，但由于极大 似然估计量以渐近正态性为基础，所以除非样本系列足够长，否则不能充分说明这种不确定性。 Martins和Stedinger的研究也表明，当样本系列较短时，极大似然估计法估计的形状参数有时会偏 小，这导致观测值与分位数值之间的均方根误差会偏大。 本文将GEV分布作为洪水频率分布线型，选取基于Metropolis-Hastings:抽样的MCMC模拟方法， 研究极值洪水的贝叶斯MCMC频率分析方法，并应用于南水北调中线工程水源地丹江口水库入库洪 水的频率分析中。 2贝叶斯洪水频率分析的基本原理 对于给定的水文要素样本系列x=(X,·,X)和选定的水文频率分布线型，洪水频率分析中贝 叶斯估计方法的基本原理如图1所示，可概括成如下4步。 先验 分布 MCMC模拟后验 参数估计 水文频率 片斯 及设计洪 分布线型 公式 分布 水计算 似然 函数 图1贝叶斯估计方法基本原理 (1)先验分布选择与似然函数计算。首先需要依据经验或历史资料来构建一个总体分布参数先验 信息的概率表述，即先验分布。先验分布的确定具有一定的主观性，也可能会对贝叶斯估计的效率 及参数估计结果的可靠性产生一定的影响。例如，若已知0≤≤1，且此区间内的任何值都有相等的 概率，即可认为的先验分布是(0,1)上的均匀分布U(0,1)。如果相信是一个任意实值，且可能取 较小值，而不是较大值，则可用一个方差很大的正态分布表示，比如N(0,50)。对于未知的总体分 布参数向量9，用π(0)表示其先验分布的密度。由于X是相互独立的，所以样本=(X,·,X)的似 然函数∫(x9)可用下式计算： f(xB)=Πf(:) (1) (2)后验分布计算。由贝叶斯公式将关于的先验密度π(0)的信息转化为含有由数据提供的附加信 息的后验分布密度∫(0x),用下式计算： π(0)f(xl9) f(0x)= (2) nπ(6)f(x9)d9 (3)总体分布参数估计。后验分布是贝叶斯统计推断的基础。对的任何统计推断完全基于且仅 基于这个后验分布。例如，可以取后验分布的均值6=E(日)=旷(Br)d作为的估计值或将使得 后验密度最大的6=m路∫(k)作为的估计值。 (4)设计洪水计算。如果z表示密度函数为∫(z9)的随机变量的未来观测，∫（日x)表示观测值为 x时的后验分布，则 (=k)=fr(=0)f(0k)d0 (3) 即为给定x下z的预测密度。与其他的预测方法相比，预测密度的优点在于它包含了反映模型不确定 —943-GEV 分布用统一的形式表示 Gumbel分布、Fréchet分布和 Weibull分布等 3 种极值分布类型，是分 析随机变量极端变异性的一个重要分布，广泛应用于水文、气象、保险和金融等领域［8-10］ 。GEV 分布 常用的参数估计方法包括极大似然估计法、线性矩法和矩法等，其中以极大似然估计法最为常用［11-12］ 。 然而，虽然极大似然估计法从考虑不确定性出发，可以计算极值变量分位数的置信区间，但由于极大 似然估计量以渐近正态性为基础，所以除非样本系列足够长，否则不能充分说明这种不确定性［13-14］ 。 Martins 和 Stedinger 的研究也表明，当样本系列较短时，极大似然估计法估计的形状参数有时会偏 小，这导致观测值与分位数值之间的均方根误差会偏大［15］ 。 本文将 GEV 分布作为洪水频率分布线型，选取基于 Metropolis-Hastings 抽样的 MCMC 模拟方法， 研究极值洪水的贝叶斯 MCMC 频率分析方法，并应用于南水北调中线工程水源地丹江口水库入库洪 水的频率分析中。 2 贝叶斯洪水频率分析的基本原理 对于给定的水文要素样本系列 x=（X1，…，Xn ）和选定的水文频率分布线型，洪水频率分析中贝 叶斯估计方法的基本原理如图 1 所示，可概括成如下 4 步。 （1）先验分布选择与似然函数计算。首先需要依据经验或历史资料来构建一个总体分布参数先验 信息的概率表述，即先验分布。先验分布的确定具有一定的主观性，也可能会对贝叶斯估计的效率 及参数估计结果的可靠性产生一定的影响。例如，若已知 0≤θ≤1，且此区间内的任何值都有相等的 概率，即可认为θ的先验分布是（0，1）上的均匀分布 U（0，1）。如果相信θ是一个任意实值，且可能取 较小值，而不是较大值，则可用一个方差很大的正态分布表示，比如 N（0，50）。对于未知的总体分 布参数向量θ，用π(θ )表示其先验分布的密度。由于 Xi是相互独立的，所以样本 x=（X1，…，Xn ）的似 然函数 f ( x |θ )可用下式计算： f ( x |θ ) = Õi = 1 n f ( x ) i ；θ （1） （2）后验分布计算。由贝叶斯公式将关于θ的先验密度π(θ )的信息转化为含有由数据提供的附加信 息的后验分布密度 f (θ |x )，用下式计算： f (θ |x ) = π(θ ) f ( x |θ ) Θ π(θ ) f ( x |θ )dθ （2） （3）总体分布参数估计。后验分布是贝叶斯统计推断的基础。对θ的任何统计推断完全基于且仅 基于这个后验分布。例如，可以取后验分布的均值θ̂ = E (θ |x ) = Θθf (θ |x )dθ 作为θ的估计值或将使得 后验密度最大的θ̂ = max θ ∈ Θ f (θ |x )作为θ的估计值。 （4）设计洪水计算。如果 z 表示密度函数为 f (z |θ )的随机变量的未来观测， f (θ |x )表示观测值为 x 时θ的后验分布，则 f (z |x ) = Θ f (z |θ ) f (θ |x )dθ （3） 即为给定 x 下 z 的预测密度。与其他的预测方法相比，预测密度的优点在于它包含了反映模型不确定 图 1 贝叶斯估计方法基本原理 — 943 —