D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.02.051 第29卷第2期 北京科技大学学报 Vol.29 No.2 2007年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2007 二维编织复合材料几何结构的平面群分析 马文锁)冯伟) 1)河南科技大学机电工程学院，洛阳4710032)上海大学上海市应用数学和力学研究所，上海200072 摘要由10个平面点群与5个平面点阵组合，推导出与二维编织复合材料几何结构有密切关系的17个平面群.叙述了二 维编织复合材料纱线段的点符号简化方法及其组合、交叉原则，以及由点符号组成的无对称单元、基本对称单元构建的方法· 阐述了从无对称单元到基本对称单元最终形成编织织物的过程。将二维编织织物分为4种编织系，每种编织系包括若干个平 面群，每个平面群对应一类编织结构，每类结构包括一种或几种编织形式，交织方法类似·举例说明了多数平面群可能对应的 编织几何结构 关键词编织材料；编织几何结构：群论分析：点群；平面群 分类号TQ171.77:029 从编织方式来说，编织复合材料增强体可分为 群加以描述，一方面可以将编织结构归类总结，另一 二维编织和三维编织两大类。两种编织方式除了可 方面可以通过数学中点群的描述发现新的编织结 以构成实心柱状结构外，还可以构成管状或异型编 构，对优化材料性能是一件很有意义的工作.纱线 织空间几何结构).平面编织复合材料是编织织 二维平面编织体是构成层合、缝纫或碳基针刺复合 物作为增强体固化而成，在复合材料行业被广泛使 材料的增强材料，管状封闭曲面复合材料构件也采 用可].根据不同的编织方法可获得不同力学性能的 用二维编织的方法，本文着重描述平面二维编织复 复合材料，因而具有性能设计方面的灵活性可，复 合材料编织体的几何结构对应的平面群（即二维空 合材料编织结构几何模型的建立是力学分析的重要 间群)，并探讨由平面群推导平面编织结构的可能 前提，基于单胞法的几何模型在众多文献中得以应 性 用-]，编织织物的几何结构复杂多样，复合后的 材料性能各不相同，将编织复合材料增强体的几何 1二维复合材料编织体纱线的几何结 结构根据其工艺特点进行分类，有助于预报及优化 构简化模型 其性能. 二维编织织物是指编织出的织物厚度最多是参 对称的观点是自然科学中最基本的观念之一· 加编织的纱线直径3倍的编织技术21].在周期性 实数域上三维欧几里德空间一个物体的对称性可以 的编织图案中将穿越厚度方向不同倾角的纱线及平 用对称群加以描述[20]，复合材料编织体的微几何 行于编织平面的纱线段用不同的简化符号表示，就 结构图案也具有可描述的对称性特征，如将构成编 可以考察编织图案所满足的平面群. 织体的连续的纱线段离散，并将假想的纱线段位置 在平面编织体的几何结构中，连续的纱线呈直 变换，编织体的状态变换前后完全相同的操作过程 线状（轴纱）或波浪状（编织纱），离散后用简化的点 也称作对称变换，那么复合材料编织体几何结构的 符号描述，简化方法如下 所有对称操作的集合就与点群和空间群建立了对应 定义平面编织体厚度方向的对称平面为其编织 关系，不同点群可以描述具有点对称操作的三维欧 平面 几里德空间中不同类型的局部图案的对称性；而不 处于编织平面的纱线段用点符号○表示，将处 同空间群可以描述整个编织体自身重复的几何对称 于编织平面上方的平行纱线段用⊙表示，而处于 结构的所有对称操作 编织面下方的纱线段用Θ表示；穿越编织体的纱 尝试将复合材料的编织结构用群论中的有限点 线段用②表示.⑧符号指向编织体平面的法线的正 收稿日期：2006-10-29修回日期：2007-01-11 向，简化表示时，点符号放置在纱线的轴线投影上， 基金项目：河南省教育厅自然科学基础研究计划项目 不同纱线段在编织体中可以表示为不同组合， (200511522003) 作者简介：马文锁(1969一)，男，副教授，博士 如图1所示，所有点符号最终全部投影在编织平面二维编织复合材料几何结构的平面群分析 马文锁1） 冯 伟2） 1） 河南科技大学机电工程学院‚洛阳471003 2） 上海大学上海市应用数学和力学研究所‚上海200072 摘 要 由10个平面点群与5个平面点阵组合‚推导出与二维编织复合材料几何结构有密切关系的17个平面群．叙述了二 维编织复合材料纱线段的点符号简化方法及其组合、交叉原则‚以及由点符号组成的无对称单元、基本对称单元构建的方法． 阐述了从无对称单元到基本对称单元最终形成编织织物的过程．将二维编织织物分为4种编织系‚每种编织系包括若干个平 面群‚每个平面群对应一类编织结构‚每类结构包括一种或几种编织形式‚交织方法类似．举例说明了多数平面群可能对应的 编织几何结构． 关键词 编织材料；编织几何结构；群论分析；点群；平面群 分类号 T Q171∙77；O29 收稿日期：20061029 修回日期：20070111 基 金 项 目： 河 南 省 教 育 厅 自 然 科 学 基 础 研 究 计 划 项 目 （200511522003） 作者简介：马文锁（1969—）‚男‚副教授‚博士 从编织方式来说‚编织复合材料增强体可分为 二维编织和三维编织两大类．两种编织方式除了可 以构成实心柱状结构外‚还可以构成管状或异型编 织空间几何结构［1—4］．平面编织复合材料是编织织 物作为增强体固化而成‚在复合材料行业被广泛使 用［5］．根据不同的编织方法可获得不同力学性能的 复合材料‚因而具有性能设计方面的灵活性［6］．复 合材料编织结构几何模型的建立是力学分析的重要 前提．基于单胞法的几何模型在众多文献中得以应 用［7—19］．编织织物的几何结构复杂多样‚复合后的 材料性能各不相同．将编织复合材料增强体的几何 结构根据其工艺特点进行分类‚有助于预报及优化 其性能． 对称的观点是自然科学中最基本的观念之一． 实数域上三维欧几里德空间一个物体的对称性可以 用对称群加以描述［20］．复合材料编织体的微几何 结构图案也具有可描述的对称性特征．如将构成编 织体的连续的纱线段离散‚并将假想的纱线段位置 变换‚编织体的状态变换前后完全相同的操作过程 也称作对称变换‚那么复合材料编织体几何结构的 所有对称操作的集合就与点群和空间群建立了对应 关系．不同点群可以描述具有点对称操作的三维欧 几里德空间中不同类型的局部图案的对称性；而不 同空间群可以描述整个编织体自身重复的几何对称 结构的所有对称操作． 尝试将复合材料的编织结构用群论中的有限点 群加以描述‚一方面可以将编织结构归类总结‚另一 方面可以通过数学中点群的描述发现新的编织结 构‚对优化材料性能是一件很有意义的工作．纱线 二维平面编织体是构成层合、缝纫或碳基针刺复合 材料的增强材料．管状封闭曲面复合材料构件也采 用二维编织的方法．本文着重描述平面二维编织复 合材料编织体的几何结构对应的平面群（即二维空 间群）‚并探讨由平面群推导平面编织结构的可能 性． 1 二维复合材料编织体纱线的几何结 构简化模型 二维编织织物是指编织出的织物厚度最多是参 加编织的纱线直径3倍的编织技术［21］．在周期性 的编织图案中将穿越厚度方向不同倾角的纱线及平 行于编织平面的纱线段用不同的简化符号表示‚就 可以考察编织图案所满足的平面群． 在平面编织体的几何结构中‚连续的纱线呈直 线状（轴纱）或波浪状（编织纱）．离散后用简化的点 符号描述．简化方法如下． 定义平面编织体厚度方向的对称平面为其编织 平面． 处于编织平面的纱线段用点符号⦵表示．将处 于编织平面上方的平行纱线段用⦵＋ 表示‚而处于 编织面下方的纱线段用⦵— 表示；穿越编织体的纱 线段用 表示． 符号指向编织体平面的法线的正 向．简化表示时‚点符号放置在纱线的轴线投影上． 不同纱线段在编织体中可以表示为不同组合‚ 如图1所示．所有点符号最终全部投影在编织平面 第29卷 第2期 2007年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．2 Feb．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．02．051