二维编织复合材料几何结构的平面群分析

由10个平面点群与5个平面点阵组合,推导出与二维编织复合材料几何结构有密切关系的17个平面群.叙述了二维编织复合材料纱线段的点符号简化方法及其组合、交叉原则,以及由点符号组成的无对称单元、基本对称单元构建的方法.阐述了从无对称单元到基本对称单元最终形成编织织物的过程.将二维编织织物分为4种编织系,每种编织系包括若干个平面群,每个平面群对应一类编织结构,每类结构包括一种或几种编织形式,交织方法类似.举例说明了多数平面群可能对应的编织几何结构.

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D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.02.051 第29卷第2期北京科技大学学报 Vol.29 No.2 2007年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feh.2007 二维编织复合材料几何结构的平面群分析马文锁)冯伟) 1)河南科技大学机电工程学院，洛阳4710032)上海大学上海市应用数学和力学研究所，上海200072 摘要由10个平面点群与5个平面点阵组合，推导出与二维编织复合材料几何结构有密切关系的17个平面群.叙述了二维编织复合材料纱线段的点符号简化方法及其组合、交叉原则，以及由点符号组成的无对称单元、基本对称单元构建的方法· 阐述了从无对称单元到基本对称单元最终形成编织织物的过程。将二维编织织物分为4种编织系，每种编织系包括若干个平面群，每个平面群对应一类编织结构，每类结构包括一种或几种编织形式，交织方法类似·举例说明了多数平面群可能对应的编织几何结构关键词编织材料；编织几何结构：群论分析：点群；平面群分类号TQ171.77:029 从编织方式来说，编织复合材料增强体可分为群加以描述，一方面可以将编织结构归类总结，另一二维编织和三维编织两大类。两种编织方式除了可方面可以通过数学中点群的描述发现新的编织结以构成实心柱状结构外，还可以构成管状或异型编构，对优化材料性能是一件很有意义的工作.纱线织空间几何结构).平面编织复合材料是编织织二维平面编织体是构成层合、缝纫或碳基针刺复合物作为增强体固化而成，在复合材料行业被广泛使材料的增强材料，管状封闭曲面复合材料构件也采用可].根据不同的编织方法可获得不同力学性能的用二维编织的方法，本文着重描述平面二维编织复复合材料，因而具有性能设计方面的灵活性可，复合材料编织体的几何结构对应的平面群（即二维空合材料编织结构几何模型的建立是力学分析的重要间群)，并探讨由平面群推导平面编织结构的可能前提，基于单胞法的几何模型在众多文献中得以应性用-]，编织织物的几何结构复杂多样，复合后的材料性能各不相同，将编织复合材料增强体的几何 1二维复合材料编织体纱线的几何结结构根据其工艺特点进行分类，有助于预报及优化构简化模型其性能. 二维编织织物是指编织出的织物厚度最多是参对称的观点是自然科学中最基本的观念之一· 加编织的纱线直径3倍的编织技术21].在周期性实数域上三维欧几里德空间一个物体的对称性可以的编织图案中将穿越厚度方向不同倾角的纱线及平用对称群加以描述[20]，复合材料编织体的微几何行于编织平面的纱线段用不同的简化符号表示，就结构图案也具有可描述的对称性特征，如将构成编可以考察编织图案所满足的平面群. 织体的连续的纱线段离散，并将假想的纱线段位置在平面编织体的几何结构中，连续的纱线呈直变换，编织体的状态变换前后完全相同的操作过程线状（轴纱）或波浪状（编织纱），离散后用简化的点也称作对称变换，那么复合材料编织体几何结构的符号描述，简化方法如下所有对称操作的集合就与点群和空间群建立了对应定义平面编织体厚度方向的对称平面为其编织关系，不同点群可以描述具有点对称操作的三维欧平面几里德空间中不同类型的局部图案的对称性；而不处于编织平面的纱线段用点符号○表示，将处同空间群可以描述整个编织体自身重复的几何对称于编织平面上方的平行纱线段用⊙表示，而处于结构的所有对称操作编织面下方的纱线段用Θ表示；穿越编织体的纱尝试将复合材料的编织结构用群论中的有限点线段用②表示.⑧符号指向编织体平面的法线的正收稿日期：2006-10-29修回日期：2007-01-11 向，简化表示时，点符号放置在纱线的轴线投影上，基金项目：河南省教育厅自然科学基础研究计划项目不同纱线段在编织体中可以表示为不同组合， (200511522003) 作者简介：马文锁(1969一)，男，副教授，博士如图1所示，所有点符号最终全部投影在编织平面

二维编织复合材料几何结构的平面群分析马文锁1）冯伟2） 1）河南科技大学机电工程学院洛阳471003 2）上海大学上海市应用数学和力学研究所上海200072 摘要由10个平面点群与5个平面点阵组合推导出与二维编织复合材料几何结构有密切关系的17个平面群．叙述了二维编织复合材料纱线段的点符号简化方法及其组合、交叉原则以及由点符号组成的无对称单元、基本对称单元构建的方法．阐述了从无对称单元到基本对称单元最终形成编织织物的过程．将二维编织织物分为4种编织系每种编织系包括若干个平面群每个平面群对应一类编织结构每类结构包括一种或几种编织形式交织方法类似．举例说明了多数平面群可能对应的编织几何结构．关键词编织材料；编织几何结构；群论分析；点群；平面群分类号 T Q171∙77；O29 收稿日期：20061029 修回日期：20070111 基金项目：河南省教育厅自然科学基础研究计划项目（200511522003）作者简介：马文锁（1969—）男副教授博士从编织方式来说编织复合材料增强体可分为二维编织和三维编织两大类．两种编织方式除了可以构成实心柱状结构外还可以构成管状或异型编织空间几何结构［1—4］．平面编织复合材料是编织织物作为增强体固化而成在复合材料行业被广泛使用［5］．根据不同的编织方法可获得不同力学性能的复合材料因而具有性能设计方面的灵活性［6］．复合材料编织结构几何模型的建立是力学分析的重要前提．基于单胞法的几何模型在众多文献中得以应用［7—19］．编织织物的几何结构复杂多样复合后的材料性能各不相同．将编织复合材料增强体的几何结构根据其工艺特点进行分类有助于预报及优化其性能．对称的观点是自然科学中最基本的观念之一．实数域上三维欧几里德空间一个物体的对称性可以用对称群加以描述［20］．复合材料编织体的微几何结构图案也具有可描述的对称性特征．如将构成编织体的连续的纱线段离散并将假想的纱线段位置变换编织体的状态变换前后完全相同的操作过程也称作对称变换那么复合材料编织体几何结构的所有对称操作的集合就与点群和空间群建立了对应关系．不同点群可以描述具有点对称操作的三维欧几里德空间中不同类型的局部图案的对称性；而不同空间群可以描述整个编织体自身重复的几何对称结构的所有对称操作．尝试将复合材料的编织结构用群论中的有限点群加以描述一方面可以将编织结构归类总结另一方面可以通过数学中点群的描述发现新的编织结构对优化材料性能是一件很有意义的工作．纱线二维平面编织体是构成层合、缝纫或碳基针刺复合材料的增强材料．管状封闭曲面复合材料构件也采用二维编织的方法．本文着重描述平面二维编织复合材料编织体的几何结构对应的平面群（即二维空间群）并探讨由平面群推导平面编织结构的可能性． 1 二维复合材料编织体纱线的几何结构简化模型二维编织织物是指编织出的织物厚度最多是参加编织的纱线直径3倍的编织技术［21］．在周期性的编织图案中将穿越厚度方向不同倾角的纱线及平行于编织平面的纱线段用不同的简化符号表示就可以考察编织图案所满足的平面群．在平面编织体的几何结构中连续的纱线呈直线状（轴纱）或波浪状（编织纱）．离散后用简化的点符号描述．简化方法如下．定义平面编织体厚度方向的对称平面为其编织平面．处于编织平面的纱线段用点符号⦵表示．将处于编织平面上方的平行纱线段用⦵＋表示而处于编织面下方的纱线段用⦵— 表示；穿越编织体的纱线段用表示．符号指向编织体平面的法线的正向．简化表示时点符号放置在纱线的轴线投影上．不同纱线段在编织体中可以表示为不同组合如图1所示．所有点符号最终全部投影在编织平面第29卷第2期 2007年 2月北京科技大学学报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．2 Feb．2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．02．051

第2期马文锁等：二维编织复合材料几何结构的平面群分析 .227. 内加以研究对称规则，由上述三种操作构成平面群的元素，不同元素的集合构成描述各种二维编织复合材料的平面几何结构的平面群用满足空间群的二维周期性图案按平移操作或复合操作进行拼装，即可获得二维编织复合材料预制件的编织结构，这种方法不仅可以将已知的二维图1编织体中不同状态纱线的点符号组合编织几何结构进行分类归纳，而且可以根据对应不 Fig.1 Point symbol combination of variant status yarns 同的平面群反推二维编织方法后续插图中因为采用了点符号与平面投影图综 4描述二维编织复合材料平面群的推合描述的方法，因而在描述平行纱线段时省略了上标导参照晶体学[21]中点群的描述，平移操作与点操 2分析时的假设作相互制约，平移操作对点操作制约的结果，使得在纺织复合材料的分类过程中，文献[21]将机编织复合材料对称轴的轴次也只有1,2,3,4,6五织与编织工艺加以区分.在二维机织和编织的几何种)，因而只有十个平面编织点群，点操作对平移结构分类过程中，以加工工艺区分的各种织造方法操作制约的结果，使得对应于平面点群只有五种点形成的平面二维图案，在以单元划分分析的过程中阵类型具有广泛的相似性，事实上，最终的两种织物结构根据对应平面图案的绕一点的对称操作的集合在织物编织平面上的投影都为直线.这种工艺上的构成平面点群，共有10种：1,2,3,4,6，m, 区别不足以严格区分这两种织物，采用不同的工艺 2mm,3m,4mm,6mm,分别对应5个平面点阵：得到的织物有相同的结构和性能.所以本文的编织斜交点阵，简单矩形点阵和c心矩形点阵，正方点概念是包括了传统的编织工艺1]和机织工艺，只阵，六角点阵是在工艺实现方法上的不同，所以论述过程中多数这里约定与5个平面点阵对应的为4种不同的编织方法的图案可能引起读者的联想，希望不引起平面编织系，斜交点阵对应斜交系，点阵点群为2，概念方面的误解与之相协调的点群为1、2；正方点阵对应点阵点群 3二维编织复合材料群描述 4mm,于之对应的点群为4、4mm;六角点阵对应的点阵点群为6mm,与之相协调的点群为6,6mm, 与描述晶体表面结构相类似，复合材料预制件 3,3m;简单矩形点阵和c心矩形点阵对应的点阵的二维编织几何结构在投影平面内是具有周期性的点群2mm,于之相协调的点群为m,2mm·表二维图案，将连续的编织纱线构成的图案按其周期 1[21]描述了平面点群与平面点阵的对应协调关系. 性图案离散，每个被离散的图案看作一个平面点阵表15个平面点阵点群及相协调的平面点群2四的阵点，选择任一阵点作为原点，在编织面内过阵 Table 1 Five plain dot lattices and corresponding point groups 点选择不共线的矢量作为基矢量α、b,基矢量的模平面编点阵的相协调的为阵点间距，基矢量构成平面点阵的重复单元的平点阵类型及符号织系点群点群行四边形.可以认为平面编织图案是点阵沿平移矢斜交斜交点阵 2 1,2 量t=ua十vb(u,v为任意整数)平移得到的矩形简单矩形点阵和c心矩形点阵 2mm m.2mm 平面编织体可以看作具有与晶体表面几何结构正方正方点阵 4mm 4,4mm 相同的某些或全部对称性，满足相应的平面群（二维六角六角点阵 6 mm 6,6mm,3,3m 空间群)的四个基本性质，是数学意义上的群.因而不同的平面编织方式对应不同的平面群.群元素看将点群的平面点操作与平面点阵的平移操作组作不同的对称操作.共有三种类型：第一种是平移合·即依次把每一个平面点群和与它相协调的每一对称操作，用以描述整体编织图案的周期性；第二种个平面点阵组合起来，也就是让该点阵的阵点所代是点对称操作，为点群元素，用以描述周期性平面表的图像单元具有该点群的对称性，或具有把点群图案的点对称性；第三种是上述两种对称操作的复中的镜线m换成滑移线g之后的对称性，就得到描合，用以描述有平移操作和点操作组合后的图案的述二维编织体周期性图像的平面群2]

内加以研究．图1 编织体中不同状态纱线的点符号组合 Fig．1 Point symbol combination of variant status yarns 后续插图中因为采用了点符号与平面投影图综合描述的方法因而在描述平行纱线段时省略了上标． 2 分析时的假设在纺织复合材料的分类过程中文献［21］将机织与编织工艺加以区分．在二维机织和编织的几何结构分类过程中以加工工艺区分的各种织造方法形成的平面二维图案在以单元划分分析的过程中具有广泛的相似性．事实上最终的两种织物结构在织物编织平面上的投影都为直线．这种工艺上的区别不足以严格区分这两种织物采用不同的工艺得到的织物有相同的结构和性能．所以本文的编织概念是包括了传统的编织工艺［18—19］和机织工艺只是在工艺实现方法上的不同．所以论述过程中多数编织方法的图案可能引起读者的联想希望不引起概念方面的误解． 3 二维编织复合材料群描述与描述晶体表面结构相类似复合材料预制件的二维编织几何结构在投影平面内是具有周期性的二维图案．将连续的编织纱线构成的图案按其周期性图案离散每个被离散的图案看作一个平面点阵的阵点．选择任一阵点作为原点在编织面内过阵点选择不共线的矢量作为基矢量 a、b．基矢量的模为阵点间距．基矢量构成平面点阵的重复单元的平行四边形．可以认为平面编织图案是点阵沿平移矢量t＝ ua＋vb（ uv 为任意整数）平移得到的．平面编织体可以看作具有与晶体表面几何结构相同的某些或全部对称性满足相应的平面群（二维空间群）的四个基本性质是数学意义上的群．因而不同的平面编织方式对应不同的平面群．群元素看作不同的对称操作．共有三种类型：第一种是平移对称操作用以描述整体编织图案的周期性；第二种是点对称操作为点群元素．用以描述周期性平面图案的点对称性；第三种是上述两种对称操作的复合用以描述有平移操作和点操作组合后的图案的对称规则．由上述三种操作构成平面群的元素不同元素的集合构成描述各种二维编织复合材料的平面几何结构的平面群．用满足空间群的二维周期性图案按平移操作或复合操作进行拼装即可获得二维编织复合材料预制件的编织结构这种方法不仅可以将已知的二维编织几何结构进行分类归纳而且可以根据对应不同的平面群反推二维编织方法． 4 描述二维编织复合材料平面群的推导参照晶体学［21］中点群的描述平移操作与点操作相互制约．平移操作对点操作制约的结果使得编织复合材料对称轴的轴次也只有12346五种［3］因而只有十个平面编织点群．点操作对平移操作制约的结果使得对应于平面点群只有五种点阵类型．根据对应平面图案的绕一点的对称操作的集合构成平面点群共有 10 种：12346 m 2mm3m4mm6mm．分别对应5个平面点阵：斜交点阵简单矩形点阵和 c 心矩形点阵正方点阵六角点阵．这里约定与5个平面点阵对应的为4种不同的平面编织系．斜交点阵对应斜交系点阵点群为2 与之相协调的点群为1、2；正方点阵对应点阵点群 4mm于之对应的点群为4、4mm；六角点阵对应的点阵点群为6mm与之相协调的点群为66mm 33m；简单矩形点阵和 c 心矩形点阵对应的点阵点群2mm于之相协调的点群为 m2mm．表 1［21］描述了平面点群与平面点阵的对应协调关系．表1 5个平面点阵点群及相协调的平面点群［21］ Table1 Five plain dot lattices and corresponding point groups ［21］平面编织系点阵类型及符号点阵的点群相协调的点群斜交斜交点阵 2 12 矩形简单矩形点阵和 c 心矩形点阵 2mm m2mm 正方正方点阵 4mm 44mm 六角六角点阵 6mm 66mm33m 将点群的平面点操作与平面点阵的平移操作组合．即依次把每一个平面点群和与它相协调的每一个平面点阵组合起来也就是让该点阵的阵点所代表的图像单元具有该点群的对称性或具有把点群中的镜线 m 换成滑移线 g 之后的对称性就得到描述二维编织体周期性图像的平面群［21］．第2期马文锁等：二维编织复合材料几何结构的平面群分析 ·227·

.228 北京科技大学学报第29卷斜交点阵与点群1和2组合分别得到平面群号符合上述原则 p1和p2,简单矩形点阵与点群组合得到平面群描述不同纱线的点符号交叉原则： cm·镜面m与c心平移(a十b)/2组合得到了滑移 (1)描述处于编织面上部或下部的不同纱线，线g,平面群cm=cg;c2mm=c2mg=c2gg; 在编织面上投影交叉或平行，简化表达纱线的点符 p4mm=p4mg,p4gm =p4gg:p3m1=p3g1, 号组合必须异号，即⊙⊙一或⊙一O+ p31m=p31g:p6mm=p6mg=p6gm=p6gg- (2)倾斜纱线段与平行纱线段的交叉位于点符从而得到17个平面群（二维空间群）. 号②右侧用点符号⊙，左侧用曰. 综上所述，理论上用17个二维空间群可以完全对称单元的组合原则：描述所有的平面编织图案类型，每一种编织系包括 (1)以无对称单元的边界、边界上的点或边界几种平面群：每个平面群可表达一类编织方法，包括顶点为对称元素，通过镜面反射、平移，平行于编织一种或几种编织几何结构.这里并不说明平面编织面二次轴螺旋旋转或滑移的平面对称操作，恰好填结构的形式只有17种，而是某一种平面群可能对应满整个编织平面，同时必须满足点符号组合原则和几种平面编织结构点符号交叉原则将不同的纱线段或其组合通过点对称、平移对 (2)无对称单元组合过程中，不能构建浮于整称、滑移及螺旋旋转对称操作得到的合理等效位置个单元表面的纱线段点符号组合，否则将会在单元的组合，在该集合的布置对称元素（对称操作时所对称操作过程中出现浮于编织体表面而未参与编织依据的点、线、面)，本身除恒等对称操作外，不再具的纱线，即无单纯点符号⊙ˉ或O的组合有其他平面点操作和非点对称操作的对称性·由它 (③)基本对称单元的构建必须满足各种状态纱出发施以编织结构的对称操作，就恰好填满整个编线最终连续的原则，通过平面群满足的对称元素不织平面，镜面必是无对称单元的边界：旋转轴必是同配置将基本对称单元作其余对称变换，即通过非无对称单元的棱边或顶点，即点符号集合所描述的点式对称操作，获得等效位置，最终形成覆盖整个几何图案面内不存在对称元素，得到的合理平面图平面编织几何结构的合理平面图案案或点符号集合定义为无对称单元 5用平面群对二维编织几何结构的分以无对称单元的边界或边界上的点为对称元素.对称元素n次轴、镜面和滑移面（或线）垂直于类编织面；平行于编织面的只有2次轴，通过满足点以平面群（二维空间群）对应的不同点阵将平面阵阵点不同的点群的对称变换，得到等效位置组成编织几何结构分为斜交编织系、矩形编织系、正方编的图案，称作基本对称图案，构成点阵的基本对称织系和六角编织系，与平面点阵的对应关系如表1 单元，基本对称单元可以是平行四边形、菱形、矩第一列和第二列所述形、正方形、正三角形和正六边形几何形状 5.1斜交编织系无对称单元的构建可以认为是由离散的纱线段对应斜交点阵的平面群有p1、p2,与点群1和的不同组合方式的集合，用简化的点符号表示时，点群2相协调.对应于平面群p1的编织图案，可以也可以认为是点符号符合某种原则的集合，点符号认为单向增强复合材料满足它的对称性，组合的方法需符合下述原则（如图1所示）· 对应于斜交点阵（单斜点阵）的平面群p2,与点表达同一纱线时的点符号组合原则：群2相协调，点阵的阵点需放置具有2次轴的对称 (1)由点符号组合表示的所有连续纱线在编织图案，找到具有点群2的对称性的纱线段组合的点面内的投影为直线，对称平面几何结构，放入不同夹角的斜交点阵中可 (2)描述倾斜纱线段的点符号⑧只可以相向或得到同一编织系的类似的编织结构形式，如图2所相背组合，不可以同向，多个符号的组合用以描述示.图2(a)对应规则编织结构，又称为2×2交织结正弦波形或余弦波形的单根纱线. 构(Twill).图2(b)对应赫格利斯交织结构(Harness (3)多个点符号⊙，⊙、⊙只可能各自组合 Satin),又称为3×3交织结构[9.1-19,21.他们的无为表面浮动纱线或增强纱线，规定三种符号之间不对称单元及基本对称单元均为矩形形状，能组合；点符号⊙与⑧只能右组合，⊙厂与⑧只能同理可以推得满足斜交点阵平面群p2对称性左组合，的mXn(m、n可取≥2不同的正整数)交织结构 (4)相邻单元所有需连接的纱线段对应的点符如图2(b)和2(c)所示的3×3和4×2交织结构

斜交点阵与点群1和2组合分别得到平面群 p1和 p2．简单矩形点阵与点群组合得到平面群 cm．镜面 m 与 c 心平移（ a＋b）／2组合得到了滑移线 g平面群 cm ＝ cg；c2mm ＝ c2mg ＝ c2gg； p4mm ＝ p4mgp4gm ＝ p4gg；p3m1＝ p3g1 p31m＝ p31g；p6mm ＝ p6mg ＝ p6gm ＝ p6gg．从而得到17个平面群（二维空间群）［21］．综上所述理论上用17个二维空间群可以完全描述所有的平面编织图案类型．每一种编织系包括几种平面群；每个平面群可表达一类编织方法包括一种或几种编织几何结构．这里并不说明平面编织结构的形式只有17种而是某一种平面群可能对应几种平面编织结构．将不同的纱线段或其组合通过点对称、平移对称、滑移及螺旋旋转对称操作得到的合理等效位置的组合．在该集合的布置对称元素（对称操作时所依据的点、线、面）本身除恒等对称操作外不再具有其他平面点操作和非点对称操作的对称性．由它出发施以编织结构的对称操作就恰好填满整个编织平面．镜面必是无对称单元的边界；旋转轴必是无对称单元的棱边或顶点．即点符号集合所描述的几何图案面内不存在对称元素．得到的合理平面图案或点符号集合定义为无对称单元．以无对称单元的边界或边界上的点为对称元素．对称元素 n 次轴、镜面和滑移面（或线）垂直于编织面；平行于编织面的只有2次轴．通过满足点阵阵点不同的点群的对称变换得到等效位置组成的图案称作基本对称图案．构成点阵的基本对称单元．基本对称单元可以是平行四边形、菱形、矩形、正方形、正三角形和正六边形几何形状．无对称单元的构建可以认为是由离散的纱线段的不同组合方式的集合．用简化的点符号表示时也可以认为是点符号符合某种原则的集合．点符号组合的方法需符合下述原则（如图1所示）．表达同一纱线时的点符号组合原则：（1）由点符号组合表示的所有连续纱线在编织面内的投影为直线．（2）描述倾斜纱线段的点符号只可以相向或相背组合不可以同向．多个符号的组合用以描述正弦波形或余弦波形的单根纱线．（3）多个点符号⦵、⦵＋、⦵— 只可能各自组合为表面浮动纱线或增强纱线．规定三种符号之间不能组合；点符号⦵＋与只能右组合⦵—与只能左组合．（4）相邻单元所有需连接的纱线段对应的点符号符合上述原则．描述不同纱线的点符号交叉原则：（1）描述处于编织面上部或下部的不同纱线在编织面上投影交叉或平行．简化表达纱线的点符号组合必须异号即⦵＋⦵—或⦵—⦵＋．（2）倾斜纱线段与平行纱线段的交叉位于点符号右侧用点符号⦵—左侧用⦵＋．对称单元的组合原则：（1）以无对称单元的边界、边界上的点或边界顶点为对称元素通过镜面反射、平移平行于编织面二次轴螺旋旋转或滑移的平面对称操作恰好填满整个编织平面．同时必须满足点符号组合原则和点符号交叉原则．（2）无对称单元组合过程中不能构建浮于整个单元表面的纱线段点符号组合．否则将会在单元对称操作过程中出现浮于编织体表面而未参与编织的纱线．即无单纯点符号⦵—或⦵＋的组合．（3）基本对称单元的构建必须满足各种状态纱线最终连续的原则．通过平面群满足的对称元素不同配置将基本对称单元作其余对称变换即通过非点式对称操作获得等效位置．最终形成覆盖整个平面编织几何结构的合理平面图案． 5 用平面群对二维编织几何结构的分类以平面群（二维空间群）对应的不同点阵将平面编织几何结构分为斜交编织系、矩形编织系、正方编织系和六角编织系．与平面点阵的对应关系如表1 第一列和第二列所述． 5∙1 斜交编织系对应斜交点阵的平面群有 p1、p2与点群1和点群2相协调．对应于平面群 p1的编织图案可以认为单向增强复合材料满足它的对称性．对应于斜交点阵（单斜点阵）的平面群 p2与点群2相协调点阵的阵点需放置具有2次轴的对称图案．找到具有点群2的对称性的纱线段组合的点对称平面几何结构放入不同夹角的斜交点阵中可得到同一编织系的类似的编织结构形式如图2所示．图2（a）对应规则编织结构又称为2×2交织结构（Twill）．图2（b）对应赫格利斯交织结构（Harness Satin）又称为3×3交织结构［918—1921］．他们的无对称单元及基本对称单元均为矩形形状．同理可以推得满足斜交点阵平面群 p2对称性的 m× n（ m、n 可取≥2不同的正整数）交织结构．如图2（b）和2（c）所示的3×3和4×2交织结构． ·228· 北京科技大学学报第29卷

.230 北京科技大学学报第29卷 (a) (b) 图4具有平面群p4对称性的菱形编织织物·()具有点群4对称性的纱线段组合；(b)正方点阵：(c)菱形编织物 Fig.4 Rhombus braided fabrics with the symmetrical characteristic of plane group p4:(a)yarn segments combination with the symmetrical characteristic of point group 4:(b)tetragonal lattice:(c)rhombus braided fabric 对应平面群p4mm和p4gm的编织几何结构，空间群p3、p3m1、p31m、p6和p6mm· 由于在推导其可行编织结构时，存在点群4mm的图6所示为符合平面群p3、p6的二维平面编点对称性，对应图5所示畸形纱线段投影的组合图织织物的推导过程，这里规定在单根纱线组合对称案，因而可以说这两种平面群不存在对应的二维编图案时，表达增强纱线段的点符号○可以随其余倾织几何结构斜纱线段的点符号构成点操作对称图案.将单根纱线段作为无对称单元，图6(a)是具有点群3和6对称性的纱线段组合而成的两种不同的基本对称单元，基本对称单元均为正三角形，对于空间群3对应的基本对称图案，在建立力学分析几何模型时可以取菱形几何图案作为代表性体积单元（或惯用单图5有p4mm、p4gm对称性的纱线段组合图案胞)（如图6(b)所示）·而对于空间群p6的基本对 Fig.5 Yarn segments combination patterns with the symmetrical 称图案除可以采用正三角外，还可以取菱形图案. characteristic of plain groups p4mm and p4gm 由3次轴或6次轴分别与六角点阵组合后的结果 5.4六角编织系 (如图6(c)所示)).将组合结果按基矢量平移得到对应六角点阵的点群有3、3m、6和6m四种. 图6(d)所示的满足空间群p3和p6的平面编织依次把四种点群和六角点阵组合起来得到五种二维织物， 0 p6 8 88 A ·AA (a)基本对称单元 (b)组合图案 (c)六角点阵 (d)织物图6对应平面群p3、p6的平面编织四织物 Fig.6 Plain braided fabrics with the symmetrical characteristics of plain groups p3 and p6 与平面群p4mm和p4gm类似，平面群图案时，也有图7所示的畸形投影图案产生，因而不 p3m1、p31m和p6mm在推导对应平面编织织物存在对应的平面编织几何结构

图4 具有平面群 p4对称性的菱形编织织物．（a）具有点群4对称性的纱线段组合；（b）正方点阵；（c）菱形编织物 Fig．4 Rhombus braided fabrics with the symmetrical characteristic of plane group p4：（a） yarn segments combination with the symmetrical characteristic of point group4；（b） tetragonal lattice；（c） rhombus braided fabric 对应平面群 p4mm 和 p4gm 的编织几何结构由于在推导其可行编织结构时存在点群4mm 的点对称性对应图5所示畸形纱线段投影的组合图案因而可以说这两种平面群不存在对应的二维编织几何结构．图5 有 p4mm、p4gm 对称性的纱线段组合图案 Fig．5 Yarn segments combination patterns with the symmetrical characteristic of plain groups p4mm and p4gm 5∙4 六角编织系对应六角点阵的点群有3、3m、6和6m 四种．依次把四种点群和六角点阵组合起来得到五种二维空间群 p3、p3m1、p31m、p6和 p6mm．图6所示为符合平面群 p3、p6的二维平面编织织物的推导过程．这里规定在单根纱线组合对称图案时表达增强纱线段的点符号⦵可以随其余倾斜纱线段的点符号构成点操作对称图案．将单根纱线段作为无对称单元图6（a）是具有点群3和6对称性的纱线段组合而成的两种不同的基本对称单元．基本对称单元均为正三角形对于空间群 p3对应的基本对称图案在建立力学分析几何模型时可以取菱形几何图案作为代表性体积单元（或惯用单胞）（如图6（b）所示）．而对于空间群 p6的基本对称图案除可以采用正三角外还可以取菱形图案．由3次轴或6次轴分别与六角点阵组合后的结果（如图6（c）所示）［3］．将组合结果按基矢量平移得到图6（d）所示的满足空间群 p3和 p6的平面编织织物．图6 对应平面群 p3、p6的平面编织［2］织物 Fig．6 Plain braided fabrics with the symmetrical characteristics of plain groups p3and p6 与平面群 p4mm 和 p4gm 类似平面群 p3m1、p31m 和 p6mm 在推导对应平面编织织物图案时也有图7所示的畸形投影图案产生因而不存在对应的平面编织几何结构． ·230· 北京科技大学学报第29卷

第2期马文锁等：二维编织复合材料几何结构的平面群分析 .231. [5]Quek S C.Waas A.Shahwan K W,et al.Compressive response and failure of braided textile composites:Part 2-Computations. Int J Non Linear Mech.2004.39(4):649 [6]庞宝君，杜善义，韩杰才.三维四向编织复合材料细观组织及分析模型.复合材料学报，1999,16(3)：135 [7]Sun W.Lin F,Hu X.Computer aided design and modeling of p3m1.p31m p6mm composite unit cells.Compos Sci Technol.2001.61(2):289 [8]Adanur S.Liao T.3D modeling of textile composite performs 图7由平面群p3ml、p31m和p6mm推导平面编织几何结构 Compos Part B,1998,29(6):787 时出现的不合理图案 [9]Brown D.Morgan M.Mellhagger R.A system for the automatic Fig.7 Yarn segments combination patterns with the symmetrical generation of solid models of woven structures-Compos Part A. characteristic of plane groups p3ml,p31m and p6 mm 2003,34(6):511 [10]Lomov S V.Textile geometry preprocessor for meso mechanical 6 结论 models of woven composites.Compos Sci Technol,2000.60 (11):2083 由平面点群到平面群可以推导出4个编织系， [11]Naik N K,Kuchibhotla R.Analytical study of strength and fail- 对应的17个平面群不仅可以充分概括二维平面编 ure behaviour of plain weave fabric composites made of twisted yarns.Compos Part A.2002.33(5):697 织的现有几何结构，而且可以以点符号的组合、交叉 [12]Huang Z M.The mechanical properties of composites reinforced 原则，通过建立无对称单元、基本对称单元，遵从不 with woven and braided fabrics.Compos Sci Technol,2000.60 同二维空间点阵描述的对称性，最终推导和预测不 (4):479 同几何结构的编织方法，在编织方案的确定，优化 [13]Subhash G.Influence of strain rate on the uniaxial compressive 材料性能方面无疑是有益的， behavior of 2-D braided textile composites.Compos Part A. 2001,32(11):1583 在正方编织系和六角编织系对应的平面群中， [14]Bystrom J.Jekabsons N,Varna J.An evaluation of different 对应p4mm、p4gm和p3m1、p31m、p6mm五种 models for prediction of elastic properties of woven composites. 空间群，由于存在3、4、6次轴和镜面对称的组合对 Compos Part B.2000.31:7 称操作，无法构成可行的平面编织方式，笔者倾向 [15]Ivanov I.Tabiei A.Three-dimensional computational micro me- 于其无对应平面编织结构，这种结论还有待于进一 chanical model for woven fabric composites.Compos Struct. 2001,54(4):489 步加以证实 [16]Lee S K,Byun J H.Hong S H.Effect of fiber geometry on the 参考文献 elastic constants of the plain woven fabric reinforced aluminum matrix composites.Mater Sci Eng.2003.A347(1/2):346 [1]Mouritz A P,Bannister M K.Fakzon P J.et al.Review of appli- [17]kabsons NJ.Bystrom J.On the effect of stacked fabric layers on cations for advanced three-dimensional fibre textile composites. the stiffness of a woven composite.Compos Part B.2002.33 Comp0 s Part A.1999,30(12):1445 (8):619 [2]Wang Y Q,Wang A S D.Spatial distribution of yarns and me- [18]Alif N,Carlsson L A.Boogh L.The effect of weave pattern and chanical properties in 3D braided tubular composites.Appl Com- crack propagation direction on mode I delamination resistance of pos Mater,1997,4(2):121 woven glass and carbon composites.Compos Part B.1998,29 [3]JanZ,Michal S.Homogenization of balanced plain weave com- (5):603 posites with imperfect microstructure:PartTheoretical formu [19]Ning Q G.Chou T W.A general analytical model for predicting lation.Int J Solids Struct.2004.41(22/23):6549 the transverse effective thermal conductivities of woven fabric [4]Chiu C H.Tsai K H.Huang W J.Crush-failure modes of 2D tri- composites.Compos Part A.1998,29(33):315 axially braided hybrid composite tubes.Compos Sci Technol. [20]刘木兰，冯克勤.群论.北京：国防工业出版社，1992：145 1999,59,1713 [21]王仁卉，郭可信。晶体学中的对称群，北京：科学出版社， 1990:1 (下转第246页)

图7 由平面群 p3m1、p31m 和 p6mm 推导平面编织几何结构时出现的不合理图案 Fig．7 Yarn segments combination patterns with the symmetrical characteristic of plane groups p3m1p31m and p6mm 6 结论由平面点群到平面群可以推导出4个编织系对应的17个平面群不仅可以充分概括二维平面编织的现有几何结构而且可以以点符号的组合、交叉原则通过建立无对称单元、基本对称单元遵从不同二维空间点阵描述的对称性最终推导和预测不同几何结构的编织方法．在编织方案的确定优化材料性能方面无疑是有益的．在正方编织系和六角编织系对应的平面群中对应 p4mm、p4gm 和 p3m1、p31m、p6mm 五种空间群由于存在3、4、6次轴和镜面对称的组合对称操作无法构成可行的平面编织方式．笔者倾向于其无对应平面编织结构这种结论还有待于进一步加以证实．参考文献［1］ Mouritz A PBannister M KFalzon P Jet al．Review of applications for advanced three-dimensional fibre textile composites． Compos Part A199930（12）：1445 ［2］ Wang Y QWang A S D．Spatial distribution of yarns and mechanical properties in3D braided tubular composites．Appl Compos Mater19974（2）：121 ［3］ Jan ZMichal S．Homogenization of balanced plain weave composites with imperfect microstructure：PartⅠ—Theoretical formulation．Int J Solids Struct200441（22／23）：6549 ［4］ Chiu C HTsai K HHuang W J．Crush-failure modes of2D triaxially braided hybrid composite tubes．Compos Sci Technol 199959：1713 ［5］ Quek S CWaas AShahwan K Wet al．Compressive response and failure of braided textile composites：Part 2—Computations． Int J Non Linear Mech200439（4）：649 ［6］庞宝君杜善义韩杰才．三维四向编织复合材料细观组织及分析模型．复合材料学报199916（3）：135 ［7］ Sun WLin FHu X．Computer-aided design and modeling of composite unit cells．Compos Sci Technol200161（2）：289 ［8］ Adanur SLiao T．3D modeling of textile composite performs． Compos Part B199829（6）：787 ［9］ Brown DMorgan MMcIlhagger R．A system for the automatic generation of solid models of woven structures．Compos Part A 200334（6）：511 ［10］ Lomov S V．Textile geometry preprocessor for meso-mechanical models of woven composites．Compos Sci Technol200060 （11）：2083 ［11］ Naik N KKuchibhotla R．Analytical study of strength and failure behaviour of plain weave fabric composites made of twisted yarns．Compos Part A200233（5）：697 ［12］ Huang Z M．The mechanical properties of composites reinforced with woven and braided fabrics．Compos Sci Technol200060 （4）：479 ［13］ Subhash G．Influence of strain-rate on the uniaxial compressive behavior of 2—D braided textile composites．Compos Part A 200132（11）：1583 ［14］ Bystrom JJekabsons NVarna J．An evaluation of different models for prediction of elastic properties of woven composites． Compos Part B200031：7 ［15］ Ivanov ITabiei A．Three-dimensional computational micro-mechanical model for woven fabric composites．Compos Struct 200154（4）：489 ［16］ Lee S KByun J HHong S H．Effect of fiber geometry on the elastic constants of the plain woven fabric reinforced aluminum matrix composites．Mater Sci Eng2003A347（1／2）：346 ［17］ kabsons N JBystrom J．On the effect of stacked fabric layers on the stiffness of a woven composite．Compos Part B200233 （8）：619 ［18］ Alif NCarlsson L ABoogh L．The effect of weave pattern and crack propagation direction on mode I delamination resistance of woven glass and carbon composites．Compos Part B199829 （5）：603 ［19］ Ning Q GChou T W．A general analytical model for predicting the transverse effective thermal conductivities of woven fabric composites．Compos Part A199829（33）：315 ［20］刘木兰冯克勤．群论．北京：国防工业出版社1992：145 ［21］王仁卉郭可信．晶体学中的对称群北京：科学出版社 1990：1 （下转第246页）第2期马文锁等：二维编织复合材料几何结构的平面群分析 ·231·

.246 北京科技大学学报第29卷 Prediction of glass forming ability using atomic radius and electro negativity JI Xiulin),CAI Anhui2),PAN Ye) 1)Materials Science and Engineering School.Southeast University,Nanjing 210096,China 2)Hunan Institute of Science and Technology.Yueyang 414006.China ABSTRACI A method based on atomic radius and electro-negativity of alloying constituents was proposed to estimate the glass forming ability(GFA)of a bulk metallic glass.The mathematical model of the ratio of radius- es difference to electro-negativity difference and the critical cooling rate Rc was established.The same relation- ships with a shape of upturned parabola in all five kinds of alloys were obtained with this model.Based on the above results,four different compositions of ZrAl-Ni Cu bulk metallic glasses were designed and prepared, and their critical size Zm,super-cooling liquid region ATx and the reduced glass temperature Trg were all mea- sured respectively.The results show that the glass forming ability of Zrs4Al13NiisCuis is the best in the four al- loys and the GFA order of these alloys predicted using the d/Ae model is basically consistent with experimental parameters (includingTs and T).It is concluded that the prediction using the d/Ae model is a reli- able method to compare the glass forming ability between different compositions in a same alloying series. KEY WORDS metallic glass:glass forming ability;design of compositions;radius;electro-negativity (上接第231页) Plain group analysis of 2D braided composites geometry MA Wensuo）,FENG Wei) 1)Mechatronics Engineering School.Henan University of Science and Technology.Luoyang 471003.China 2)Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics,Shanghai University,Shanghai 200071,China ABSTRACI Seventeen plain groups,which were associated with 2D braided geometry of composites,were de- duced from the combination of ten plain point groups and five plain dot lattices.The simplified method,combi- nation and crossover principle of the point symbol on a 2D braided composites yarn segment were proposed.The construction methods of non-symmetry unit and basic symmetry unit were investigated,and the fabric-braided procedure from nonsymmetry unit to basic symmetry unit was discussed.The 2D braided fabric of composites was classified four braided families,each braided family included several plain groups,each plain group was cor- responding a group of braided structures,and each group of braided structures had one or several braided modes whose interwoven methods were homologous.The possible 2D braided composites geometry of majority plain groups was illustrated. KEY WORDS braided composite;braided geometry:analysis of group theory;point group;plain group

Prediction of glass forming ability using atomic radius and electro-negativity JI Xiulin 1）CAI A nhui 2）PA N Ye 1） 1） Materials Science and Engineering SchoolSoutheast UniversityNanjing210096China 2） Hunan Institute of Science and TechnologyYueyang414006China ABSTRACT A method based on atomic radius and electro-negativity of alloying constituents was proposed to estimate the glass forming ability （GFA） of a bulk metallic glass．The mathematical model of the ratio of radiuses difference to electro-negativity difference and the critical cooling rate Rc was established．The same relationships with a shape of upturned parabola in all five kinds of alloys were obtained with this model．Based on the above resultsfour different compositions of Zr—Al—Ni—Cu bulk metallic glasses were designed and prepared and their critical size Zmaxsuper-cooling liquid region ΔTx and the reduced glass temperature Trg were all measured respectively．The results show that the glass forming ability of Zr54Al13Ni15Cu18is the best in the four alloys and the GFA order of these alloys predicted using theΔd／Δe model is basically consistent with experimental parameters （including ZmaxΔTxand Trg）．It is concluded that the prediction using theΔd／Δe model is a reliable method to compare the glass forming ability between different compositions in a same alloying series． KEY WORDS metallic glass；glass forming ability；design of compositions；radius；electro-negativity （上接第231页） Plain group analysis of 2D braided composites geometry MA Wensuo 1）FENG Wei 2） 1） Mechatronics Engineering SchoolHenan University of Science and TechnologyLuoyang471003China 2） Shanghai Institute of Applied Mathematics and MechanicsShanghai UniversityShanghai200071China ABSTRACT Seventeen plain groupswhich were associated with2D braided geometry of compositeswere deduced from the combination of ten plain point groups and five plain dot lattices．The simplified methodcombination and crossover principle of the point symbol on a2D braided composites yarn segment were proposed．The construction methods of non-symmetry unit and basic symmetry unit were investigatedand the fabric-braided procedure from non-symmetry unit to basic symmetry unit was discussed．The2D braided fabric of composites was classified four braided familieseach braided family included several plain groupseach plain group was corresponding a group of braided structuresand each group of braided structures had one or several braided modes whose interwoven methods were homologous．The possible 2D braided composites geometry of majority plain groups was illustrated． KEY WORDS braided composite；braided geometry；analysis of group theory；point group；plain group ·246· 北京科技大学学报第29卷

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二维编织复合材料几何结构的平面群分析