基于期权定价理论的矿业工程评估模型

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.2000.06.005 第22卷第6期 北京科技大学学报 Vol.22 No.6 2000年12月 Journal of University of Science and Technology Beijing Dec.2000 基于期权定价理论的矿业工程评估模型 刘朝马) 刘冬梅》蔡美峰) 1)南方治金学院，江西赣州3410002)北京科技大学资源工程学院，北京100083 摘要折现现金流法是工程评估最常用的方法，但其低估了矿业开发价值.运用管理选择 权，遵循标准的期权定价过程，建立了矿业开发价值和矿业工程评估模型，为投资决策提供了 新的思路和量化工具. 关键词工程评估：管理选择权：折现现金流法：期权定价理论 分类号TD85-9文献标识码：A 1973年，Black和Scholest推导出基于无红 设S为矿产品价格，。为矿产品价格波动 利支付股票的任何衍生证券的价格必须满足的 率，S可以用瞬时期望漂移率μS和瞬时方差率 微分方程，即著名的Black-Scholes公式.他们运 S的Ito过程来表达： 用该方程推导出股票的欧式看涨期权和看跌期 dS=uSdt+o.Sdz (1) 权的价值.这一工作创建了期权定价理论，为金 式中，dz=√，z遵循维纳过程，e为标准正态 融衍生产品的定价提供了精确的定价方法. 分布中取的一个随机值. Black和Scholes模型为矿业工程评估提供 若每单位的存储成本为现货价格的固定比 了重要的构架).矿业公司管理层的选择权有 例“，每单位的便利收益为现货价格的固定比 推迟开发选择权，停采、恢复生产、闭坑的生产 例y,则矿产品期货价格F的to过程为： 规模选择权，边界品位和开采率选择权等.管理 dr-or r 9osd (2) 选择权使企业可以根据经济环境的变化进行择 式中”为以连续复利计的无风险收益率. 机决策，对有利状态加以充分的应用，对不利状 态加以有效规避，使企业存在争取更大价值的 2矿业开发价值模型 灵活性，在评估矿业工程项目方面，由于管理层 的选择权的价值能达到相当大，传统的净现值 矿业开发价值是通过当前或将来的矿业开 及折现现金流法因忽略这种价值可能导致决策 采和加工等经营活动实现的.在矿业经营中，管 错误.建立基于期权定价理论的矿业工程评估 理层有一定程度的选择权.取一个极端的情况， 模型，将对资本投资决策思想产生重大影响.本 如管理层对矿山停产有一定的选择权，如果矿 文在讨论矿产品价格波动模型基础上，运用管 产品价格下降到足够低而且持续时间比较长的 理层的管理选择权，遵循标准的期权定价过程， 话，管理层可选择停产，矿业开发价值应当是在 建立了矿业开发价值和矿业工程评估模型，为 充分运用管理选择权，实现资源最优开采利用 投资决策提供了新的思路和量化工具， 时的收益，其数量等于资源最优开采利用条件 下实现的税后现金流量的现值.假设矿业开发 1矿产品价格行为模式 价值为W,则有： W=S,2,t;j,φ) (3) 矿产品价格行为模式通常用维纳过程来表 式中，=1代表矿山生产，j=0代表矿山停产： 达.维纳过程是马尔科夫随机过程的一种特殊 中为矿山开采政策，中三(g,S),为矿石储量， 形式，有时称布朗运动 9为矿床开采率，9≡(S,,),9的取值范围为 [q,q](矿山生产)或0（停产）.对(3)应用Ito定 2000-03-22收稿刘朝马男，34，博士 理有： ·国家自然科学基金资助项目(No.79960005)

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 饱 叭 。 基于期权定价理论 的矿业工程评估模型 刘朝 马 ” 刘冬梅 ” 蔡美峰 ” 南方冶金学院 ， 江西翰州 北京科技大学资源工程学院 ， 北京 摘 要 折现现金 流法是工程 评估最常用 的方法 ， 但其低估 了矿业 开发价值 运用管理选择 权 ， 遵循标准 的期权定价过程 ， 建立 了矿业开 发价值和矿业 工程评估模型 ， 为投资决策提供 了 新 的思路和 量化工 具 关键词 工程评估 管理选择权 折现现金流法 期权定价 理论 分 类号 一 文献标识码 年 ， 和 【‘，推 导 出基于 无红 利支付股票 的任何衍生证券 的价格必 须满足 的 微分方程 ， 即著名 的 公 式 他们 运 用 该方程推导 出股票 的欧式看涨期权和 看跌期 权 的价值 这一工作创 建 了期权定价理论 ， 为金 融衍 生产 品 的定价提供 了精确 的定价方法 和 模型 为矿业工程评估提供 了重要 的构架〔， ， 矿业 公 司 管理层 的选择权有 推迟开 发选择权 ， 停采 、 恢 复生 产 、 闭坑 的生 产 规模选择权 ， 边界 品位和 开采率选择权等 管理 选择权使企业可 以根据经济环境 的变化进行择 机决策 ， 对有利状态加 以充分 的应用 ， 对不 利状 态加 以有效规避 ， 使企业存 在争取更大价值 的 灵 活性 在评估矿业工程项 目方面 ， 由于 管理层 的选择权 的价 值 能达到相 当大 ， 传 统 的净现值 及折现现金流法 因忽 略这种价值可 能导致 决策 错 误 建立基 于 期 权定价理 论 的矿业 工 程评估 模型 ， 将对 资本投资决策思想产生重 大影 响 本 文 在讨论矿产 品价格波动 模 型 基础 上 ， 运用 管 理层 的管理选择权 ， 遵循标准 的期权定价过程 ， 建立 了矿 业开 发价值和 矿业工程 评估 模型 ， 为 投 资决策提供 了新 的思 路 和 量化工 具 设 为矿产 品价格 ， 。 为矿产 品价格波动 率 ， 可 以用 瞬 时 期 望漂移 率 产 和 瞬 时方差 率 护梦 的 过程来表达 产胡什汉记 式 中 ， 一 。丫玉 ， 遵循维纳过程 ， 。 为标准 正 态 分布 中取 的一 个 随机值 若每单位 的存储成 本为现货价格 的 固定 比 例 ， 每单位 的便利 收益 为现货价格 的 固定 比 例 ， 则 矿产 品期 货价格 的 过程 为 一 伽一 妞器 式 中 为 以连续 复利计 的无风 险 收益 率 矿产品价格行为模式 矿产 品价格行 为模式通常用 维纳 过程来表 达 维纳过程 是 马尔科夫 随机过程 的一 种特殊 形 式 ， 有 时称布 朗运动 一 一 收稿 刘 朝马 男 ， ， 博士 国家 自然科学基金 资助项 目 矿业开发价值模型 矿业 开发价值是通过 当前或将来 的矿业开 采和 加工等经营活动 实现 的 在矿业经营 中 ， 管 理层有一定程度 的选择权 取 一个极端 的情况 ， 如管理层对矿 山停产有 一 定 的选择权 如果矿 产 品价格下 降到足够低 而且 持续 时间 比较长 的 话 ， 管理层 可选择停产 矿业开 发价值应 当是在 充 分运用 管理 选择权 ， 实现 资源最优 开采利用 时 的收益 ， 其 数量等于 资源 最优 开 采利用 条件 下 实现 的税 后现金流量 的现值 假设矿业 开 发 价值 为 矶 则有 砰三 叫 ， ， ， 价 式 中 ， 代 表矿 山 生产 ， 代表矿 山停产 价为矿 山 开 采政策 ， 价三 价 ， 必 ， 为矿 石 储量 ， 为矿 床 开 采 率 ， 三 ， ， ， 的取 值 范 围为 【至 ， 互」矿 山生产 或 停产 对 应用 定 理有 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2000．06．005

·506 北京科技大学学报 2000年第6期 s-8r2r82c5u④ dw=ow ∂W,.∂W, 生费用.当=0时，即储量耗尽的矿山，其价 另设i,2,和。分别为开采矿产资源的增 值为0，我们又得到一个边界条件： V(S,0,t)=V(S,0)=0 (15) 值税、资源税、资源补偿费和公司所得税率，并 允许税前抵亏，则矿业开发税后现金流为： 由于经营决策要合理利用停产、闭坑、恢复 (1-t)g[aSR1-41-)-2-M]-m1-)(5) 生产的机会，要使临界价格S%,SS:的选择满足 式中，m为停产时期税后维持费用，ā为矿床平 价值最大化，S%,SS必须满足： 均品位，M为生产成本（采矿成本和加工成本）， 0,2,0-0 (16) R为资源回收率， 恶(c2,=0,e.0 构造一个由数量为1的矿业开发价值多头 头寸和数量为/S的矿产品翔货合约的空 当 V.(Si,2,)2K(g,0 (17) 警G,e,0=0当esK但 (18) 头头寸的证券组合，定义证券组合的价值为Ⅱ， a (19) 根据定义： 恶6，e,0-0,e,0 Π=W (6) 方程(10(19)组成了矿业开发价值评估的 定义△H为证券组合持有者在△t时间内财 一般模型.该模型不仅能计算出矿业开发价值， 富的变化，可以推导出： 而且还提供了矿山最优开采的经营策略轨迹， AM=分器s-800sr 该模型没有确切的解析式，可用数值方法计算。 (1-t)q[aSR(1-t-t)-t2-Me]-m(1-j)}△t(7) 3矿业工程评估模型 由于（⑦）式独立于维纳过程，该证券组合是 对于大多数项目投资而言，投资机会并不 瞬时无风险的，其收益率一定等于无风险收益 可能马上消失，项目投资可以选择合适的投资 率，故： 时间.投资机会给投资者一种权利，付出项目投 △H=rI△t (8) 资的初始支出，得到一个建成的项目，获得现金 将(6)和(7)代入（⑧）中，得到： 102W ∂W.òW,òW 流.投资机会可以利用，也可以放弃，它对投资 2830S-g80+8r+8gs+w-H 者来说是一种权利，而没有必须执行的义务.投 (1-t)q[aSR(1-t-)-i2-Me]-m(1-)=rW(9) 资时间选择可以使投资者避免收益向下的风 这就是W必须满足的微分方程，由于它不 险，同时进一步看清收益向上的潜力.投资机会 包含矿产品的预期收益，故具有风险中性定价 好比一个看涨期权，一个美式看涨期权给予持 性质. 有者一种权利，在一定时间内，付出期权的执行 假设S,为由生产转向停产或永久闭坑的矿 价，得到期权的标的资产，对矿业项目投资而 产品价格，S,为由停产转向生产时的矿产品价 言，标的资产可以看成是建成的矿山，执行价是 格，为由停产转向永久闭坑时的矿产品价格. 初始投资支出，有效期是投资机会可以推迟的 在矿山企业取优化的经营策略中={9，S0,Si,S} 时间，与看涨期权一样，只要标的资产具有不确 下，矿业开发价值为（矿山生产），”。（矿山停 定性，投资机会就具有价值. 产)，则方程(9)变为： 设I为工程项目的投资.矿业工程投资规模 恶+骆小股警 ayo,ay。 一般与矿床规模2，、产品价格S和投资时间t (1-t)q[āSR(1-t-)--M]=rW (10) 的价格水平有关，故I=(S,2,).另设I服从几 2器rs+票*r警-m=0a山 何布朗运动，即： ∂t dI=u ldt+o ldze 讨论，V。,应当满足的边界条件.根据 (20) dzdz。=pdt S,S,S条件，有： 式中，4。为项目投资的预期增长率，G。为项目投 V.(S%,2,)=0 (12) 资波动率，p为S和I的瞬时相关系数， V(,2,)=max[y.(S,2,t)-K(g,),0](13) 设y为I的便利收益，c。为I的储存费用， .(S,2,t)=V(S,2,)-K(2,) (14) K为项目的远期投资（如远期承包合同），有： 式中，K:,K2分别为停产发生费用和恢复生产发 dKrcdr (21)

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 ‘ 平一 枷 叫器卜警姆兴黔 夕。 另设 ， 九 ， 九和 ‘ 分 别 为开采矿产 资源 的增 值税 、 资源税 、 资源补 偿 费和 公 司 所得税率 ， 并 允许税前抵亏 ， 则矿业 开 发税后 现金 流 为 一 云 一 一 一九一从」一 一 式 中 ， 为停产 时期税后 维持 费用 ， 万 为矿床平 均 品位 ， 从 为生产成本 采矿成本和加工成本 ， 为资源 回收率 构造一 个 由数量 为 的矿业开发价值 多头 ， ， 、 。 ， 、 ， 砰 ，刁 一 一 。 人 。 二 一 一 头寸和 数量 为 箭 愉的矿产 品 期 货合约 的空 头头寸 的证券组合 定义证券组合 的价值为 ， 根据 定 义 牙 定 义八付 为证券组合持有 者 在△ 时 间 内财 富 的变化 ， 可 以推 导 出 一 夸缪扮月静争黝 叶· 、 一 叮〔万 一 一 一 九一从 一 万 △ 由于 式独立 于 维纳过程 ， 该 证券组合 是 瞬 时无风 险的 ， 其 收益 率一 定等于 无 风 险收益 率 ， 故 △万 尸刀△ 将 和 代入 中 ， 得 到 生 费用 当 时 ， 即储量耗尽 的矿 山 ， 其价 值 为 ， 我们 又得到 一 个边界条件 ，， ，， 由于 经营 决策要合理利用停产 、 闭坑 、 恢 复 生产 的机会 ， 要使 临界价格 又 ， 义 的选择满足 价值最 大化 ， 又 ， 义 必 须满 足 ‘ 、夕、产产， 尹 户 盟 、了、了、 门心月曰 ，兄一了 ， 。 ， 。 一 。 鲁 ， 。 ， 。 一 静 ‘ ， 。 ， 。 当 ， ，七凡 ， 盟 ， 。 ， 。 一 。 当 ，。 二、 ， 器 ， 。 ， 。 一 静 义 ， 。 ， 。 方程 组成 了矿 业开 发价值评 估的 一般模型 该模型不 仅能计算 出矿业开 发价值 ， 而 且还提供 了矿 山最优开 采 的经 营策 略轨迹 该模型没有确切 的解析式 ， 可用 数值方法计算 箭缪 护，一 备争黝 什 、 一 叮 云 一 一 一 九一 从 一 砰 这就 是 砰 必 须 满足 的微分方 程 由于 它 不 包含矿产 品的预期收益产 ， 故具有风 险 中性 定价 性质 假设 凡 为 由生产转 向停产或永久 闭坑 的矿 产 品价格 ， 凡 为 由停产转 向生 产 时 的矿产 品价 格 ， 为 由停产转 向永久 闭坑 时 的矿产 品价格 在矿 山企业取优化 的经 营策 略 犷 ’，风，， 下 ， 矿业 开 发价值 为 矿 山生产 ， 矿 山停 产 ， 则 方程 变为 碧黔袋刃 杂 域内、 一 一‘ 〔万 一 一九 一九一从静」 砰争 普羚刃夸 从，· 州户瓷 一二 一 ，二 讨 论 ， ， 应 当满足 的边 界 条件 根据 ， ， ， 凡 条件 ， 有 民 ， ， ， 二 矶 ， ， 【 ， ， 一凡 ， ， 」 丈 ， ， 二 ， ， 一凡 ， 式 中式 ， 凡 分 别 为停产发生 费用 和 恢 复生产 发 矿业工程评估模型 对于 大 多数项 目投 资而 言 ， 投 资机会 并不 可 能 马上 消失 ， 项 目投 资可 以选择 合适 的投 资 时间 投资机会给投资者 一种权利 ， 付 出项 目投 资的初 始支 出 ， 得到一个建成 的项 目 ， 获得现金 流 投 资机会 可 以利用 ， 也 可 以放弃 ， 它对 投资 者来说是 一种权利 ， 而没有必 须执行 的义务 投 资 时 间 选 择 可 以使投 资者 避 免收益 向下 的风 险 ， 同 时进一 步看清收益 向上 的潜力 投资机会 好 比一个看涨期权 ， 一 个美式看涨期权给予持 有者一种权利 ， 在一定时 间 内 ， 付出期权的执行 价 ， 得到期权 的标 的资产 对矿 业项 目投资而 言 ， 标 的资产可 以看成是建成的矿 山 ， 执行价是 初始投 资支 出 ， 有效期是投资机会 可 以推迟 的 时间 ， 与看涨期权一样 ， 只要标的资产具有不确 定 性 ， 投资机会就 具有价值 设 为工程项 目的投 资 矿业工程投资规模 一 般与矿床规模 ， 、 产 品价格 和 投资时 间 的价格水平有 关 ， 故 双 ，， 另设 服 从几 何布 朗运动 ， 即 一 “渺 ‘ ‘ 二 式 中声 。 为项 目投 资 的预 期增长 率 ， 认 为项 目投 资波动 率 ， 为 和 的瞬 时相 关系数 设 为 的便利 收益 ， 为 的储存 费用 ， 为项 目的远 期 投 资 如 远 期 承包 合 同 ， 有 一 譬取一 妞盟

VoL.22 No.6 刘朝马等：基于期权定价理论的矿业工程评估模型 ·507 设矿业开发的净现值为NPV,忽略开发所 采取投资策略，投资机会价值就等于投资的净 需时间，有： 现值： NPV(S,2,-S,2,)-1(S,2,) (22) m·)=·)-() (31) 设投资机会的价值是W: aw av ol 丽=丽- (32) W=WS,l,2,) (23) 根据Ito定理，有： 方程(27)在边界条件(28(32)的解为矿业投 %头⊙ dmOP。 27u22s+ 资机会价值，投资决策策略是由产品价格和投 资成本决定， 器os义产r9盼r 02W 05 aSde1n aw 4结论 a7o.d。 (24) 构造一个由数量为1的投资机会多头头寸、数 (1)在矿业经营中，管理层也有一定程度的 量为刚18F 选择权，管理选择权存在使矿业公司可以根据 了迟的矿产品期货合约空头头寸和数 经济环境的变化进行择机决策，对有利状态加 oWoK 量为份的项目投资远期合约的空头头寸 以充分的应用，对不利状态加以有效规避，使管 的证券组合.定义该证券组合的价值为Ⅱ，根据 理层存在争取更大回报的灵活性 式(6)7=W (②)通过建立一个包含矿业开发价值及其 osioingiw An-s oF tpoo.S1OW OW 矿产品期货合约的证券组合，得到依赖于矿产 osol dt 品价格的矿业开发价值的偏微分方程.使用求 98设sru--为对a2s) owow 解偏微分方程的数值方法可获得矿业开发价值 由于上式独立于维纳过程，该证券组合是 和矿山最优开采的经营策略轨迹. 无风险的，故： (3)通过建立包含投资机会价值、矿产品期 △I=rI△t (26) 货合约和项目投资成本远期合约组成的证券组 将方程(6)和(25)代入方程(26)，整理得： 合，得到依赖于矿产品价格和项目投资成本的 29形1 1 poo..y0形am 08200 衍生证券投资机会价值模型，为投资决策提供 osol dr 98股器sirr7raWm2m ,aW∂W。 了新的思路和量化工具， 参考文献 这就是W必须满足的微分方程，显然W满 足的边界条件有： 1 Black Fisher,Myron Scholes.The Pricing of Option and Corporate Liabilities.Journal of Politic Economic,1973, 0,1,2,)=0 (28) 87(56):637 WS,1,2,T)=0 (29) 2 Hull John C.Option,Futures,and Other Derivatives.3ed. WS,+o,2,)0 (30) NY:Prentice Hall,1997 投资决策的方法应该是投资机会得到最佳 3刘朝马，蔡美峰.工程评估理论及其在矿业中应用的 的利用，投资的临界点应该是(S,T),在该点就 新进展.金属矿山，1998(4)：15 Mining Project Evaluation Model Based on Options Pricing Theory LIU Chaoma,LIU Dongmei,CAI Meifeng? 1)Southern Institute of Metallurgy,Ganzhou 341000,China 2)Resource Engineering SchooL,UST Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT Discounted cash flow(DCF)techniques are widely used for valuing project investment.But this convention DCF has a pitfall that underestimates the value of the mine.Using mining management flex- ibility and following options pricing processes,new approach and quantitative tools to the value of a mine and the project evaluation are developed. KEY WORDS project evaluation;mining management flexibility;discounted cash-flow technique,options pricing theory

刘 朝 马等 基于 期权定价理 论 的矿业工程评估模型 设矿业开 发 的净 现值 为 ， 忽 略 开 发所 需 时 间 ， 有 ，，小城，， 一式况， 设投 资机会 的价值是 砰 环任 洲况禹 ， 根据 。 定理 ， 有 采取投 资策 略 ， 投 资机会 价值就等 于 投 资 的净 现值 呵 · 班 · 一双 · 刁牙 币了一 币了一 心 百了 ，隘 决务衅黔兴黔 夕 方程 在边界条件 卜 的解为矿业投 资机会价值 ， 投 资决策策 略 是 由产 品价格和 投 资成本 决定 牙 瓦价户 。 二 护牙 ， 。 刁叭 ， 卜了万万仄 一 万酬犷 构造一个 由数量 为 的投 资机会 多头头寸 、 数 量 为 量 为 盟器 譬嚼 的矿 产 品 期货 合 约 空 头 头 寸和 数 的项 目投 资远 期 合 约 的空 头 头 寸 的证券组合 定义该证券组 合 的价值 为 ， 根据 式 口 砰 ‘ ， 牙 ， ， 日牙 日 砰 日牙 卜二『百 ‘ ，杭书弓气二口过 ‘ ，犷胃十口 觉民占 诚污扣六十于沁‘ 一 乙 百 一 艺 一 ‘ 了 一 百 ，静黝 叶· 、 曝黝 尹 一 ，△犷 ‘，，， 由于 上式独立于 维纳过程 ， 该 证券 组合 是 无风 险的 ， 故 留了 尹刀△ 将方程 和 代入方程 ， 整 理得 口备黝 叶·动曝黝什仇 一，一牙 ‘，，， 这就是 平 必 须满足 的微分方程 显然 砰 满 足 的边界条件有 叫 ， ，小 网况去 ，力 网况 二 ， 力司 投 资决策 的方法应该 是投 资机会得到最佳 的利用 ， 投 资的临界 点应该是 ， ， 厂 ， 在该 点就 结论 在矿业经 营 中 ， 管理层 也有一 定程度 的 选择 权 管理选择权存在 使矿业公 司 可 以根据 经济环境 的变化进行择机决策 ， 对 有利状态加 以充分 的应用 ， 对不 利状态加 以有效规避 ， 使管 理层存在争取更 大 回报 的灵活 性 通过建立 一个包含矿业 开 发价值及 其 矿 产 品 期货合约 的证券 组 合 ， 得 到依赖于矿产 品价格 的矿业 开 发价值 的偏微分方 程 使用 求 解偏微分方程 的数值方法可获得矿业开发价值 和 矿 山最优 开采 的经 营策 略轨迹 通过建立包含投 资机会价值 、 矿产 品期 货合约和 项 目投 资成 本远期合约 组 成 的证券 组 合 ， 得 到依 赖于矿产 品价格和 项 目投 资成本 的 衍生 证券投 资机会价值模型 ， 为投 资决策提供 了新 的思 路和 量化工 具 参 考 文 献 ‘ 耳幻 切 ， ， 卿 氏 奴 ， ， 刘朝马 ，蔡美峰 工 程评估理论及 其 在矿业 中应用 的 新进展 金属矿 山 ， 巧 ，， 阴 ，， 月 人绝诉心 ， 堪队 ， 切戈 ， ， ， 如 ， 、 小 一 ， 户