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第2期 马文锁等：二维编织复合材料几何结构的平面群分析 .227. 内加以研究 对称规则，由上述三种操作构成平面群的元素，不 同元素的集合构成描述各种二维编织复合材料的平 面几何结构的平面群 用满足空间群的二维周期性图案按平移操作或 复合操作进行拼装，即可获得二维编织复合材料预 制件的编织结构，这种方法不仅可以将已知的二维 图1编织体中不同状态纱线的点符号组合 编织几何结构进行分类归纳，而且可以根据对应不 Fig.1 Point symbol combination of variant status yarns 同的平面群反推二维编织方法 后续插图中因为采用了点符号与平面投影图综 4描述二维编织复合材料平面群的推 合描述的方法，因而在描述平行纱线段时省略了 上标 导 参照晶体学[21]中点群的描述，平移操作与点操 2分析时的假设 作相互制约，平移操作对点操作制约的结果，使得 在纺织复合材料的分类过程中，文献[21]将机 编织复合材料对称轴的轴次也只有1,2,3,4,6五 织与编织工艺加以区分.在二维机织和编织的几何 种)，因而只有十个平面编织点群，点操作对平移 结构分类过程中，以加工工艺区分的各种织造方法 操作制约的结果，使得对应于平面点群只有五种点 形成的平面二维图案，在以单元划分分析的过程中 阵类型 具有广泛的相似性，事实上，最终的两种织物结构 根据对应平面图案的绕一点的对称操作的集合 在织物编织平面上的投影都为直线.这种工艺上的 构成平面点群，共有10种：1,2,3,4,6，m, 区别不足以严格区分这两种织物，采用不同的工艺 2mm,3m,4mm,6mm,分别对应5个平面点阵： 得到的织物有相同的结构和性能.所以本文的编织 斜交点阵，简单矩形点阵和c心矩形点阵，正方点 概念是包括了传统的编织工艺1]和机织工艺，只 阵，六角点阵 是在工艺实现方法上的不同，所以论述过程中多数 这里约定与5个平面点阵对应的为4种不同的 编织方法的图案可能引起读者的联想，希望不引起 平面编织系，斜交点阵对应斜交系，点阵点群为2， 概念方面的误解 与之相协调的点群为1、2；正方点阵对应点阵点群 3二维编织复合材料群描述 4mm,于之对应的点群为4、4mm;六角点阵对应的 点阵点群为6mm,与之相协调的点群为6,6mm, 与描述晶体表面结构相类似，复合材料预制件 3,3m;简单矩形点阵和c心矩形点阵对应的点阵 的二维编织几何结构在投影平面内是具有周期性的 点群2mm,于之相协调的点群为m,2mm·表 二维图案，将连续的编织纱线构成的图案按其周期 1[21]描述了平面点群与平面点阵的对应协调关系. 性图案离散，每个被离散的图案看作一个平面点阵 表15个平面点阵点群及相协调的平面点群2四 的阵点，选择任一阵点作为原点，在编织面内过阵 Table 1 Five plain dot lattices and corresponding point groups 点选择不共线的矢量作为基矢量α、b,基矢量的模 平面编 点阵的 相协调的 为阵点间距，基矢量构成平面点阵的重复单元的平 点阵类型及符号 织系 点群 点群 行四边形.可以认为平面编织图案是点阵沿平移矢 斜交 斜交点阵 2 1,2 量t=ua十vb(u,v为任意整数)平移得到的 矩形简单矩形点阵和c心矩形点阵 2mm m.2mm 平面编织体可以看作具有与晶体表面几何结构 正方 正方点阵 4mm 4,4mm 相同的某些或全部对称性，满足相应的平面群（二维 六角 六角点阵 6 mm 6,6mm,3,3m 空间群)的四个基本性质，是数学意义上的群.因而 不同的平面编织方式对应不同的平面群.群元素看 将点群的平面点操作与平面点阵的平移操作组 作不同的对称操作.共有三种类型：第一种是平移 合·即依次把每一个平面点群和与它相协调的每一 对称操作，用以描述整体编织图案的周期性；第二种 个平面点阵组合起来，也就是让该点阵的阵点所代 是点对称操作，为点群元素，用以描述周期性平面 表的图像单元具有该点群的对称性，或具有把点群 图案的点对称性；第三种是上述两种对称操作的复 中的镜线m换成滑移线g之后的对称性，就得到描 合，用以描述有平移操作和点操作组合后的图案的 述二维编织体周期性图像的平面群2].内加以研究． 图1 编织体中不同状态纱线的点符号组合 Fig．1 Point symbol combination of variant status yarns 后续插图中因为采用了点符号与平面投影图综 合描述的方法因而在描述平行纱线段时省略了 上标． 2 分析时的假设 在纺织复合材料的分类过程中文献［21］将机 织与编织工艺加以区分．在二维机织和编织的几何 结构分类过程中以加工工艺区分的各种织造方法 形成的平面二维图案在以单元划分分析的过程中 具有广泛的相似性．事实上最终的两种织物结构 在织物编织平面上的投影都为直线．这种工艺上的 区别不足以严格区分这两种织物采用不同的工艺 得到的织物有相同的结构和性能．所以本文的编织 概念是包括了传统的编织工艺［18—19］和机织工艺只 是在工艺实现方法上的不同．所以论述过程中多数 编织方法的图案可能引起读者的联想希望不引起 概念方面的误解． 3 二维编织复合材料群描述 与描述晶体表面结构相类似复合材料预制件 的二维编织几何结构在投影平面内是具有周期性的 二维图案．将连续的编织纱线构成的图案按其周期 性图案离散每个被离散的图案看作一个平面点阵 的阵点．选择任一阵点作为原点在编织面内过阵 点选择不共线的矢量作为基矢量 a、b．基矢量的模 为阵点间距．基矢量构成平面点阵的重复单元的平 行四边形．可以认为平面编织图案是点阵沿平移矢 量t＝ ua＋vb（ uv 为任意整数）平移得到的． 平面编织体可以看作具有与晶体表面几何结构 相同的某些或全部对称性满足相应的平面群（二维 空间群）的四个基本性质是数学意义上的群．因而 不同的平面编织方式对应不同的平面群．群元素看 作不同的对称操作．共有三种类型：第一种是平移 对称操作用以描述整体编织图案的周期性；第二种 是点对称操作为点群元素．用以描述周期性平面 图案的点对称性；第三种是上述两种对称操作的复 合用以描述有平移操作和点操作组合后的图案的 对称规则．由上述三种操作构成平面群的元素不 同元素的集合构成描述各种二维编织复合材料的平 面几何结构的平面群． 用满足空间群的二维周期性图案按平移操作或 复合操作进行拼装即可获得二维编织复合材料预 制件的编织结构这种方法不仅可以将已知的二维 编织几何结构进行分类归纳而且可以根据对应不 同的平面群反推二维编织方法． 4 描述二维编织复合材料平面群的推 导 参照晶体学［21］中点群的描述平移操作与点操 作相互制约．平移操作对点操作制约的结果使得 编织复合材料对称轴的轴次也只有12346五 种［3］因而只有十个平面编织点群．点操作对平移 操作制约的结果使得对应于平面点群只有五种点 阵类型． 根据对应平面图案的绕一点的对称操作的集合 构成平面点群共有 10 种：12346 m 2mm3m4mm6mm．分别对应5个平面点阵： 斜交点阵简单矩形点阵和 c 心矩形点阵正方点 阵六角点阵． 这里约定与5个平面点阵对应的为4种不同的 平面编织系．斜交点阵对应斜交系点阵点群为2 与之相协调的点群为1、2；正方点阵对应点阵点群 4mm于之对应的点群为4、4mm；六角点阵对应的 点阵点群为6mm与之相协调的点群为66mm 33m；简单矩形点阵和 c 心矩形点阵对应的点阵 点群2mm于之相协调的点群为 m2mm．表 1［21］描述了平面点群与平面点阵的对应协调关系． 表1 5个平面点阵点群及相协调的平面点群［21］ Table1 Five plain dot lattices and corresponding point groups ［21］ 平面编 织系 点阵类型及符号 点阵的 点群 相协调的 点群 斜交 斜交点阵 2 12 矩形 简单矩形点阵和 c 心矩形点阵 2mm m2mm 正方 正方点阵 4mm 44mm 六角 六角点阵 6mm 66mm33m 将点群的平面点操作与平面点阵的平移操作组 合．即依次把每一个平面点群和与它相协调的每一 个平面点阵组合起来也就是让该点阵的阵点所代 表的图像单元具有该点群的对称性或具有把点群 中的镜线 m 换成滑移线 g 之后的对称性就得到描 述二维编织体周期性图像的平面群［21］． 第2期 马文锁等： 二维编织复合材料几何结构的平面群分析 ·227·