.228 北京科技大学学报 第29卷 斜交点阵与点群1和2组合分别得到平面群 号符合上述原则 p1和p2,简单矩形点阵与点群组合得到平面群 描述不同纱线的点符号交叉原则： cm·镜面m与c心平移(a十b)/2组合得到了滑移 (1)描述处于编织面上部或下部的不同纱线， 线g,平面群cm=cg;c2mm=c2mg=c2gg; 在编织面上投影交叉或平行，简化表达纱线的点符 p4mm=p4mg,p4gm =p4gg:p3m1=p3g1, 号组合必须异号，即⊙⊙一或⊙一O+ p31m=p31g:p6mm=p6mg=p6gm=p6gg- (2)倾斜纱线段与平行纱线段的交叉位于点符 从而得到17个平面群（二维空间群）. 号②右侧用点符号⊙，左侧用曰. 综上所述，理论上用17个二维空间群可以完全 对称单元的组合原则： 描述所有的平面编织图案类型，每一种编织系包括 (1)以无对称单元的边界、边界上的点或边界 几种平面群：每个平面群可表达一类编织方法，包括 顶点为对称元素，通过镜面反射、平移，平行于编织 一种或几种编织几何结构.这里并不说明平面编织 面二次轴螺旋旋转或滑移的平面对称操作，恰好填 结构的形式只有17种，而是某一种平面群可能对应 满整个编织平面，同时必须满足点符号组合原则和 几种平面编织结构 点符号交叉原则 将不同的纱线段或其组合通过点对称、平移对 (2)无对称单元组合过程中，不能构建浮于整 称、滑移及螺旋旋转对称操作得到的合理等效位置 个单元表面的纱线段点符号组合，否则将会在单元 的组合，在该集合的布置对称元素（对称操作时所 对称操作过程中出现浮于编织体表面而未参与编织 依据的点、线、面)，本身除恒等对称操作外，不再具 的纱线，即无单纯点符号⊙ˉ或O的组合 有其他平面点操作和非点对称操作的对称性·由它 (③)基本对称单元的构建必须满足各种状态纱 出发施以编织结构的对称操作，就恰好填满整个编 线最终连续的原则，通过平面群满足的对称元素不 织平面，镜面必是无对称单元的边界：旋转轴必是 同配置将基本对称单元作其余对称变换，即通过非 无对称单元的棱边或顶点，即点符号集合所描述的 点式对称操作，获得等效位置，最终形成覆盖整个 几何图案面内不存在对称元素，得到的合理平面图 平面编织几何结构的合理平面图案 案或点符号集合定义为无对称单元 5用平面群对二维编织几何结构的分 以无对称单元的边界或边界上的点为对称元 素.对称元素n次轴、镜面和滑移面（或线）垂直于 类 编织面；平行于编织面的只有2次轴，通过满足点 以平面群（二维空间群）对应的不同点阵将平面 阵阵点不同的点群的对称变换，得到等效位置组成 编织几何结构分为斜交编织系、矩形编织系、正方编 的图案，称作基本对称图案，构成点阵的基本对称 织系和六角编织系，与平面点阵的对应关系如表1 单元，基本对称单元可以是平行四边形、菱形、矩 第一列和第二列所述 形、正方形、正三角形和正六边形几何形状 5.1斜交编织系 无对称单元的构建可以认为是由离散的纱线段 对应斜交点阵的平面群有p1、p2,与点群1和 的不同组合方式的集合，用简化的点符号表示时， 点群2相协调.对应于平面群p1的编织图案，可以 也可以认为是点符号符合某种原则的集合，点符号 认为单向增强复合材料满足它的对称性， 组合的方法需符合下述原则（如图1所示）· 对应于斜交点阵（单斜点阵）的平面群p2,与点 表达同一纱线时的点符号组合原则： 群2相协调，点阵的阵点需放置具有2次轴的对称 (1)由点符号组合表示的所有连续纱线在编织 图案，找到具有点群2的对称性的纱线段组合的点 面内的投影为直线， 对称平面几何结构，放入不同夹角的斜交点阵中可 (2)描述倾斜纱线段的点符号⑧只可以相向或 得到同一编织系的类似的编织结构形式，如图2所 相背组合，不可以同向，多个符号的组合用以描述 示.图2(a)对应规则编织结构，又称为2×2交织结 正弦波形或余弦波形的单根纱线. 构(Twill).图2(b)对应赫格利斯交织结构(Harness (3)多个点符号⊙，⊙、⊙只可能各自组合 Satin),又称为3×3交织结构[9.1-19,21.他们的无 为表面浮动纱线或增强纱线，规定三种符号之间不 对称单元及基本对称单元均为矩形形状， 能组合；点符号⊙与⑧只能右组合，⊙厂与⑧只能 同理可以推得满足斜交点阵平面群p2对称性 左组合， 的mXn(m、n可取≥2不同的正整数)交织结构 (4)相邻单元所有需连接的纱线段对应的点符 如图2(b)和2(c)所示的3×3和4×2交织结构斜交点阵与点群1和2组合分别得到平面群 p1和 p2．简单矩形点阵与点群组合得到平面群 cm．镜面 m 与 c 心平移（ a＋b）／2组合得到了滑移 线 g‚平面群 cm ＝ cg；c2mm ＝ c2mg ＝ c2gg； p4mm ＝ p4mg‚p4gm ＝ p4gg；p3m1＝ p3g1‚ p31m＝ p31g；p6mm ＝ p6mg ＝ p6gm ＝ p6gg． 从而得到17个平面群（二维空间群） ［21］． 综上所述‚理论上用17个二维空间群可以完全 描述所有的平面编织图案类型．每一种编织系包括 几种平面群；每个平面群可表达一类编织方法‚包括 一种或几种编织几何结构．这里并不说明平面编织 结构的形式只有17种‚而是某一种平面群可能对应 几种平面编织结构． 将不同的纱线段或其组合通过点对称、平移对 称、滑移及螺旋旋转对称操作得到的合理等效位置 的组合．在该集合的布置对称元素（对称操作时所 依据的点、线、面）‚本身除恒等对称操作外‚不再具 有其他平面点操作和非点对称操作的对称性．由它 出发施以编织结构的对称操作‚就恰好填满整个编 织平面．镜面必是无对称单元的边界；旋转轴必是 无对称单元的棱边或顶点．即点符号集合所描述的 几何图案面内不存在对称元素．得到的合理平面图 案或点符号集合定义为无对称单元． 以无对称单元的边界或边界上的点为对称元 素．对称元素 n 次轴、镜面和滑移面（或线）垂直于 编织面；平行于编织面的只有2次轴．通过满足点 阵阵点不同的点群的对称变换‚得到等效位置组成 的图案‚称作基本对称图案．构成点阵的基本对称 单元．基本对称单元可以是平行四边形、菱形、矩 形、正方形、正三角形和正六边形几何形状． 无对称单元的构建可以认为是由离散的纱线段 的不同组合方式的集合．用简化的点符号表示时‚ 也可以认为是点符号符合某种原则的集合．点符号 组合的方法需符合下述原则（如图1所示）． 表达同一纱线时的点符号组合原则： （1） 由点符号组合表示的所有连续纱线在编织 面内的投影为直线． （2） 描述倾斜纱线段的点符号 只可以相向或 相背组合‚不可以同向．多个符号的组合用以描述 正弦波形或余弦波形的单根纱线． （3） 多个点符号⦵、⦵＋、⦵— 只可能各自组合 为表面浮动纱线或增强纱线．规定三种符号之间不 能组合；点符号⦵＋与 只能右组合‚⦵—与 只能 左组合． （4） 相邻单元所有需连接的纱线段对应的点符 号符合上述原则． 描述不同纱线的点符号交叉原则： （1） 描述处于编织面上部或下部的不同纱线‚ 在编织面上投影交叉或平行．简化表达纱线的点符 号组合必须异号‚即⦵＋⦵—或⦵—⦵＋． （2） 倾斜纱线段与平行纱线段的交叉位于点符 号 右侧用点符号⦵—‚左侧用⦵＋． 对称单元的组合原则： （1） 以无对称单元的边界、边界上的点或边界 顶点为对称元素‚通过镜面反射、平移‚平行于编织 面二次轴螺旋旋转或滑移的平面对称操作‚恰好填 满整个编织平面．同时必须满足点符号组合原则和 点符号交叉原则． （2） 无对称单元组合过程中‚不能构建浮于整 个单元表面的纱线段点符号组合．否则将会在单元 对称操作过程中出现浮于编织体表面而未参与编织 的纱线．即无单纯点符号⦵—或⦵＋的组合． （3） 基本对称单元的构建必须满足各种状态纱 线最终连续的原则．通过平面群满足的对称元素不 同配置将基本对称单元作其余对称变换‚即通过非 点式对称操作‚获得等效位置．最终形成覆盖整个 平面编织几何结构的合理平面图案． 5 用平面群对二维编织几何结构的分 类 以平面群（二维空间群）对应的不同点阵将平面 编织几何结构分为斜交编织系、矩形编织系、正方编 织系和六角编织系．与平面点阵的对应关系如表1 第一列和第二列所述． 5∙1 斜交编织系 对应斜交点阵的平面群有 p1、p2‚与点群1和 点群2相协调．对应于平面群 p1的编织图案‚可以 认为单向增强复合材料满足它的对称性． 对应于斜交点阵（单斜点阵）的平面群 p2‚与点 群2相协调‚点阵的阵点需放置具有2次轴的对称 图案．找到具有点群2的对称性的纱线段组合的点 对称平面几何结构‚放入不同夹角的斜交点阵中可 得到同一编织系的类似的编织结构形式‚如图2所 示．图2（a）对应规则编织结构‚又称为2×2交织结 构（Twill）．图2（b）对应赫格利斯交织结构（Harness Satin）‚又称为3×3交织结构［9‚18—19‚21］．他们的无 对称单元及基本对称单元均为矩形形状． 同理可以推得满足斜交点阵平面群 p2对称性 的 m× n（ m、n 可取≥2不同的正整数）交织结构． 如图2（b）和2（c）所示的3×3和4×2交织结构． ·228· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷