例2若∫在[an,b]上满足 Lipschitz条件,则∫是[a,b]上的绝对连续函数 证明对任意E>0,令6=元(M是Liph常数.则当∑(b-a,)<6时, ∑/b)-f(a)≤M∑(b-a)<E 故∫是[a,b]上的绝对连续函数■ 定理2绝对连续函数是有界变差函数 证明设∫是[a,b上的绝对连续函数.则对E=1,存在δ>0,使得对[a,b上的任 意有限个互不相交的开区间{(a,b),当∑(b-a)<6时,成立 ∑ (b)-f(a)<1.取自然数k使得 <δ.设a=x0<…<xn=b是[ab]的 个分割,它将区间[a,b分成k等分.对[x1,x]任一分割x1=10<…<Lm=x,由于 (t1-1-1)=x1-x-1<d,因此 v(n…ln)=∑|(t)-f()≤1 于是F()≤1,i=1…,k.利用52定理2,得到()=∑()≤k因此∫是ab]上 的有界变差函数.■ 推论3设∫是[a,b上的绝对连续函数则∫在[a,b上几乎处处可导,并且∫"是 Lebesgue可积的 证明利用推论4即知推论成立 定理4若∫是[a,b上的绝对连续函数,则∫的变差函数()也是绝对连续的 证明设∫是[a,b上的绝对连续函数.由定理2,f∫是[a,b]上的有界变差函数.因此 函数()有意义.对任意E>0,设δ是绝对连续函数定义中相应的正数.现在设 {(a,b)m是[ab上的互不相交的开区间使得∑(b-a)<6.对每个=1…,n,设 144144 例 2 若 f 在[a,b]上满足 Lipschitz 条件, 则 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 对任意ε > 0, 令 M ε δ = ( M 是 Lipschitz 常数). 则当∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时, ( ) ( ) ( ) . 1 1 ∑ − ≤ ∑ − < ε = = n i i i n i f bi f ai M b a 故 f 是[a,b]上的绝对连续函数. ■ 定理 2 绝对连续函数是有界变差函数. 证明 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 则对ε = 1, 存在δ > 0, 使得对[a,b]上的任 意有限个互不相交的开区间 {( , )} , 1 n ai bi i= 当 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时 , 成 立 ( ) ( ) 1. 1 ∑ − < = n i i ai f b f 取自然数 k 使得 < δ . − k b a 设 a = x0 <"< xn = b 是[a,b] 的一 个分割, 它将区间[a,b] 分成 k 等分. 对[ , ] i 1 i x x − 任一分割 , i 1 0 m i x = t < < t = x − " 由于 ( ) , 1 1 − 1 = − − < δ = ∑ − i i m i i i t t x x 因此 ( , , ) ( ) ( ) 1. 1 0 = ∑ − 1 ≤ = − m i f m i i V t " t f t f f 于是 ( ) 1, 1, , . 1 V f i k i i x x ≤ = " − 利用§5.2定理2, 得到 ( ) ( ) . 1 1 V f V f k k i x x b a i i = ∑ ≤ = − 因此 f 是[a,b]上 的有界变差函数. ■ 推论 3 设 f 是[a,b] 上的绝对连续函数. 则 f 在[a,b] 上几乎处处可导, 并且 f ′ 是 Lebesgue 可积的. 证明 利用推论 4 即知推论成立. 定理 4 若 f 是[a,b]上的绝对连续函数, 则 f 的变差函数V ( f ) x a 也是绝对连续的. 证明 设 f 是[a,b]上的绝对连续函数. 由定理 2, f 是[a,b]上的有界变差函数. 因此 函数 V ( f ) x a 有意义. 对任意 ε > 0, 设 δ 是绝对连续函数定义中相应的正数. 现在设 n ai bi i 1 {( , )} = 是[a,b]上的互不相交的开区间使得∑ − < δ = n i i i b a 1 ( ) . 对每个i = 1,",n, 设