§5.3绝对连续函数与不定积分 教学目的介绍绝对连续函数概念及性质,证明联系微分与积分的牛 顿莱布尼兹公式 教学要点绝对连续函数,不定积分,牛顿莱布尼兹公式 定义1设f(x)是定义在[a,b]上的实值函数.若对任意>0,存在δ>0,使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{ab),当(b-a1)<时,成立 ∑lf()-f(a)<E 则称f(x)是[a,b]上的绝对连续函数 关于绝对连续函数显然成立如下事实: ().绝对连续函数是连续函数 ()若f,g是绝对连续函数,a是实数.则af和f+g是绝对连续函数 例1设f是[a,b]上的 Lebesgue可积函数.则f的不定积分 F()=()dt+ (其中C是任意常数)是[a,b]上的绝对连续函数 证明由积分的绝对连续性(4.2定理9),对任意>0,存在δ>0,使得对[ab中 的任意可测集A,当m(A)<时,f()d<.于是对[a,b]上的任意有限个互不相 交的开区间{(ab),当(b-a1)<时,令A=(ab),则 i= m(A)=(b-a1)<.于是 IF()-Fa)= sodr)=) <. 因此F是[a,b]上的绝对连续函数 143143 §5.3 绝对连续函数与不定积分 教学目的 介绍绝对连续函数概念及性质, 证明联系微分与积分的牛 顿-莱布尼兹公式. 教学要点 绝对连续函数, 不定积分, 牛顿-莱布尼兹公式. 定义 1 设 f (x) 是定义在[a,b]上的实值函数. 若对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对 [a,b]上的任意有限个互不相交的开区间{( , )} , 1 n ai bi i= 当∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时, 成立 ( ) ( ) , 1 ∑ − < ε = n i i ai f b f 则称 f (x) 是[a,b]上的绝对连续函数. 关于绝对连续函数显然成立如下事实: (i). 绝对连续函数是连续函数. (ii). 若 f , g 是绝对连续函数, α 是实数. 则α f 和 f + g 是绝对连续函数. 例 1 设 f 是[a,b]上的 Lebesgue 可积函数. 则 f 的不定积分 ( ) () x a F x f t dt C = + ∫ (其中C 是任意常数)是[a,b]上的绝对连续函数. 证明 由积分的绝对连续性(§4.2 定理 9), 对任意ε > 0, 存在δ > 0, 使得对[a,b]中 的任意可测集 A , 当 m(A) < δ 时, () . A f t dt <ε ∫ 于是对[a,b]上的任意有限个互不相 交的开区间 {( , )} , 1 n ai bi i= 当 ∑ − < δ = n i bi ai 1 ( ) 时 , 令 ( , ), 1 ∪ n i A ai bi = = 则 ( ) ( ) . 1 = ∑ − < δ = n i m A bi ai 于是 1 11 ( ) ( ) () () () . i i i i n nn b b i i a aA i ii F b F a f t dt f t dt f t dt ε = == ∑ ∑∑ −= ≤ = < ∫ ∫∫ 因此 F 是[a,b]上的绝对连续函数