中科院研究生院2004~2005第一学期随机过程讲稿孙应飞 兀=丌P(1),Vt≥0 则称x为{X(,t≥0的平稳分布。 (4)若对vi∈S,lmp(t)=;存在,则称x'={r,i∈S}为 X(,t≥0}的极限分布。 与马氏链的讨论类似,我们有: 定理:不可约纯不连续马氏过程是正常返的充分必要条件是 它存在平稳分布,且此时的平稳分布就是极限分布。 下面讨论p(1)和p,(t)的极限性质,讨论状态空间有限且各状 态都相通的情形。状态无限可列的情形有类似的结果。 (二)极限性质 命题:当t→∞时,p,(1)趋于一个与初始分布(0)无关的极限 的充分必要条件是p、(1)对任何状态i趋于同一极限。 证明:设初始分布为p(0)=(P{X()=}=p、),vi∈S),由全 概率公式有 P()=P(X(t)=}=∑P,(O)P,(),(∈S) “→”:若1→>∞时,p、()趋于一个与初始分布p(0)无关的极限, 即当t→∞时, P(1)→>P,j∈S 特别地取一种初始分布P(O)=1,P,(0)=0,k∈Sk≠i,我们有:中科院研究生院 2004～2005 第一学期 随机过程讲稿 孙应飞  = P(t), t  0 则称  为 {X(t), t  0} 的平稳分布。 （4）若对 iS ，  → i = i t lim p (t)  存在，则称   ˆ { , i S} = i    为 {X(t), t  0} 的极限分布。 与马氏链的讨论类似，我们有： 定理：不可约纯不连续马氏过程是正常返的充分必要条件是 它存在平稳分布，且此时的平稳分布就是极限分布。 下面讨论 p (t) j 和 p (t) i j 的极限性质，讨论状态空间有限且各状 态都相通的情形。状态无限可列的情形有类似的结果。 （二）极限性质 命题：当 t →  时， p (t) j 趋于一个与初始分布 p(0)  无关的极限 的充分必要条件是 p (t) i j 对任何状态 i 趋于同一极限。 证明：设初始分布为 p(0) (P{X (0) i} p (0) , i S) = = = i    ，由全 概率公式有： p (t) P{X (t) j} p (0) p (t) , ( j S) i S j = = =  i i j   “  ”：若 t →  时， p (t) j 趋于一个与初始分布 p(0)  无关的极限， 即当 t →  时， pj (t) → pj , jS 特别地取一种初始分布 p p k S k i i (0) =1, k (0) = 0 ,  ,  ，我们有：