5六章定积分 因为∈D1]0<sn<sim1,从而 lim Sin"xdx=lim Sin"1=0 对ln2sn"xdx=0如下证明对不对? sn"x∈C[o 2,由积分中值定理,存在∈(0,2),使得 2 Sin"xdx=Sin"5 因为5∈(0,).0<sn5<1,从而 im2SmasπmSm5n=0 n→∞ xdx=0这个证明对不对? 不对!因为中值点n∈(0,)与n有关 例2设f∈Cab,f(x)20,如果Jf(x)=0 求证f(x)≡0(a≤x≤b) 证明1:反证,设∫(x)在[a,b不恒等于零,则存在x0∈[a,b,使得 f(x0)≠0,不妨设∫(x0)>0.这时存在正数o,使得在区间 x0-6,x+上恒有f(x)>(x) 由于函数f(x)非负所以 f(x)dx (x)k+。(x)k+C/(x)≥ ≥,f(x)dx ≥+(x)a= 26 f(x0) =f(x0)·>0 这与假设冲突,因此f(x)=0(a≤x≤b) 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 因为  0,1,0  sin   sin 1, 从而 lim lim 1 0 1 0 = = → →  n n n n Sin x dx Sin . 对 lim sin 0 2 0 =  →  xdx n n 如下证明对不对？ x n sin ] 2 [0,  C , 由积分中值定理, 存在 ) 2 (0,    ,使得 n n n Sin x dx Sin    2 2 0 =  因为 ),0 sin 1 2 (0,      , 从而 lim 0 2 lim 2 0 = = → →  n n n n n Sin x dx Sin    . lim sin 0 2 0 =  →  xdx n n 这个证明对不对？ 不对！因为中值点 ) 2 (0,   n  与 n 有关。 例 2: 设 f C[a, b], f (x)  0 , 如果 ( ) = 0  b a f x dx , 求证 f (x)  0(a  x  b) . 证明 1: 反证,设 f (x) 在 [a,b] 不恒等于零,则存在 [ , ] x0  a b ,使得 f (x0 )  0 , 不妨设 f (x0 )  0 . 这时存在正数  , 使得在区间 [ , ] x0 − x0 + 上恒有 2 ( ) ( ) 0 f x f x  . 由于函数 f (x) 非负,所以 =  b a f (x)dx = + +     + + − − b x x x x a f x dx f x dx f x dx     0 0 0 0 ( ) ( ) ( )  + −    0 0 ( ) x x f x dx  =  + −   0 0 2 ( ) 0 x x dx f x = ( ) 0 2 ( ) 2 0 0   = f x   f x 这与假设冲突, 因此 f (x)  0(a  x  b)