5六章定积分 6-1-4可积函数类 ()连续函数可积:f∈C[ab,则∫f(x)tx存在 (2)只有有限间断点的有界函数可积 设f:[a,b]→>R是有界函数,只在c∈(a,b)是间断点,则 ∫/(x)存在 (3)单调函数可积:设f:[a,b→R是单调函数,f(x)x存在 (4)若∫,g∈R[a,b],则∫g∈R[a,b] (5)若f(x)在b]上除有限点外都是零,则:「f(x)dr=0 推论:若「f(x)x存在,而g(x)只在有限点上与f(x)不同,则 f(x)dx=g(x)da 例一,若∫(x) sn-,x≠0 ,定积分∫(x)是否存在? 1,x是有理数 例二, Dirichlet函数:f(x)= 0,x是无理数 定积分「f(x)x是否存在? x是既约真分数P 例三,若f:[0→R,f(x)={q 0,x是无理数 定积分∫f(x)女存在。 第六章定积分第六章 定积分 第六章 定积分 6-1-4 可积函数类 (1) 连续函数可积： f C[a,b], 则  b a f (x)dx 存在. (2) 只有有限间断点的有界函数可积： 设 f :[a,b] → R 是有界函数, 只在 c (a,b) 是间断点, 则  b a f (x)dx 存在. (3) 单调函数可积: 设 f :[a,b] → R 是单调函数,  b a f (x)dx 存在. (4) 若 f , g  R[a,b], 则 f g  R[a,b]. (5) 若 f (x) 在 [a,b] 上除有限点外都是零，则: ( ) = 0  b a f x dx 推论: 若  b a f (x)dx 存在, 而 g(x) 只在有限点上与 f (x) 不同，则   = b a b a f (x)dx g(x)dx . 例一，若      =  = 0, 0 , 0 1 sin ( ) x x f x x , 定积分  − 1 1 f (x)dx 是否存在？ 例二，Dirichlet 函数:    = 是无理数 是有理数 x x f x 0, 1, ( ) , 定积分  − 1 1 f (x)dx 是否存在？ 例三，若 f :[0,1] → R,      = 0, . , , 1 ( ) 是无理数 是既约真分数 x q p x f x q 定积分  1 0 f (x)dx 存在