对0≤y≤1，G(y)=P(N≤y)=P(F()≤y)=P(X≤F-(y)=F(F-(y)=y 0,y<0 即Y的分布函数是Gy)={y,0≤y<1求导得Y的密度函数 L,y≥1 1,0<y<1 (y)= 0,其他 可见，Y服从[0,1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 定理 设X是一个取值于区间[a,b],具有概率密度f(x)的连续型r.V,又设y=g(x)处 处可导，且对于任意x,恒有g'(x)>0或恒有g(x)<0,则Y=g(X)是一个连续型r.v, 它的概率密度为 「fhy)]h'y),a<y<B f(y)= 0,其他 其中x=h(y)是y=g(x)的反函数， a=ming(x),B=maxg(x) 此定理的证明与前面的解题思路类似 例6设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-21X的概率密度. 解：在区间(0,1)上，函数1nx<0,故y=-21x>0,y=-2<0于是y在区间(0,1) 上单调下降，有反函数 r=)=e为 由前述定理得 0<e片<1 dy 0, 其他 1,0<y<1 将X的概率密度∫x(x) 0,其他 代入，得 0, 其他 即Y服从参数为)的指数分布。对 0≤y≤1, G(y)=P(Y≤ y) =P(F(X)≤ y) =P(X ≤ 1 F y( ) − ) =F( 1 F y( ) − )= y 即 Y 的分布函数是 0, 0 ( ) , 0 1 1, 1 y G y y y y    =       求导得 Y 的密度函数 ( ) Y f y = 1, 0 1 0,   y   其他 可见, Y 服从[0，1]上的均匀分布. 本例的结论在计算机模拟中有重要的应用 下面给出一个定理，在满足定理条件时可直接用它求出随机变量函数的概率密度 . 定理 设 X 是一个取值于区间[a,b]，具有概率密度 f(x)的连续型 r.v,又设 y=g(x)处 处可导，且 对于任意 x,恒有 g x ( ) 0  或恒有 g x ( ) 0  ，则 Y=g(X)是一个连续型 r.v， 它的概率密度为 ( ) Y f y = [ ( )] ( ), 0,  f h y h y y        其他 其中 x h y = ( ) 是 y g x = ( ) 的反函数， min ( ) a x b  g x   = , max ( ) a x b  g x   = 此定理的证明与前面的解题思路类似. 例6 设随机变量 X 在(0,1)上服从均匀分布，求 Y=-2lnX 的概率密度. 解： 在区间(0,1)上,函数 lnx<0, 故 y=-2lnx>0, 2 y 0 x  = −  于是 y 在区间(0,1) 上单调下降，有反函数 2 ( ) y x h y e − = = 由前述定理得 ( ) Y f y = 2 2 2 ( ) , 0 1 0, y y y X de f e e dy − − −          其他 将 X 的概率密度 ( ) X f x = 1, 0 1 0,   y   其他 代入,得 ( ) Y f y = 2 2 1 , 0 1 2 0, y y e e  − −       其他 即 Y 服从参数为 1 2 的指数分布